Страница 11 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.11. Докажите, что является чётной функция:

1) $f(x) = -5x^4;$

2) $f(x) = \frac{x^2+1}{x^2-4};$

3) $f(x) = \sqrt{4-x} + \sqrt{4+x};$

4) $f(x) = \frac{x^3}{\sqrt{1-x} - \sqrt{x+1}}.$

Для доказательства того, что функция является чётной, необходимо проверить выполнение двух условий:

1. Область определения функции $D(f)$ должна быть симметричной относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Для любого $x$ из области определения должно выполняться равенство $f(-x) = f(x)$.

Функция $f(x) = -5x^4$.

Область определения функции $D(f) = (-\infty, +\infty)$. Эта область является симметричной относительно начала координат.

Проверим второе условие. Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = -5(-x)^4 = -5x^4 = f(x)$.

Поскольку область определения симметрична и выполняется равенство $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: функция является чётной.

Функция $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 4}$.

Область определения функции находится из условия, что знаменатель не равен нулю: $x^2 - 4 \neq 0$, то есть $x \neq \pm 2$. Таким образом, $D(f) = (-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, +\infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат.

Проверим второе условие. Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{(-x)^2 + 1}{(-x)^2 - 4} = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 4} = f(x)$.

Поскольку область определения симметрична и выполняется равенство $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: функция является чётной.

Функция $f(x) = \sqrt{4-x} + \sqrt{4+x}$.

Область определения функции находится из системы неравенств: $\begin{cases} 4-x \ge 0 \\ 4+x \ge 0 \end{cases}$, что равносильно $\begin{cases} x \le 4 \\ x \ge -4 \end{cases}$. Таким образом, $D(f) = [-4, 4]$. Этот отрезок симметричен относительно начала координат.

Проверим второе условие. Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = \sqrt{4-(-x)} + \sqrt{4+(-x)} = \sqrt{4+x} + \sqrt{4-x}$.

Так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется, $\sqrt{4+x} + \sqrt{4-x} = \sqrt{4-x} + \sqrt{4+x} = f(x)$.

Поскольку область определения симметрична и выполняется равенство $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: функция является чётной.

Функция $f(x) = \frac{x^3}{\sqrt{1-x} - \sqrt{x+1}}$.

Область определения функции $D(f)$ находится из условий: $\begin{cases} 1-x \ge 0 \\ x+1 \ge 0 \\ \sqrt{1-x} - \sqrt{x+1} \neq 0 \end{cases}$. Решая систему, получаем: $\begin{cases} x \le 1 \\ x \ge -1 \\ 1-x \neq x+1 \end{cases}$, что равносильно $\begin{cases} -1 \le x \le 1 \\ 2x \neq 0 \end{cases}$, то есть $x \in [-1, 0) \cup (0, 1]$. Эта область симметрична относительно начала координат.

Проверим второе условие. Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{(-x)^3}{\sqrt{1-(-x)} - \sqrt{(-x)+1}} = \frac{-x^3}{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}$.

Теперь преобразуем полученное выражение, умножив числитель и знаменатель на -1:

$f(-x) = \frac{-x^3 \cdot (-1)}{(\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}) \cdot (-1)} = \frac{x^3}{-\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}} = \frac{x^3}{\sqrt{1-x} - \sqrt{1+x}} = f(x)$.

Поскольку область определения симметрична и выполняется равенство $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: функция является чётной.

1.12. Докажите, что является чётной функция:

1) $f(x) = x^6;$

2) $f(x) = -3x^2 + |x| - 1;$

3) $f(x) = \sqrt{5 - x^2};$

4) $f(x) = \frac{|5x - 2| + |5x + 2|}{x^2 - 1}.$

Функция $f(x)$ называется чётной, если для любого $x$ из её области определения $D(f)$ выполняются два условия:
1. Область определения симметрична относительно нуля (то есть если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.
Проверим каждую из заданных функций на соответствие этим условиям.

1) $f(x) = x^6$
1. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.
2. Найдём значение функции для аргумента $-x$: $f(-x) = (-x)^6 = x^6$.
Так как $f(-x) = f(x)$, второе условие также выполняется. Следовательно, функция является чётной.
Ответ: доказано, что функция является чётной.

2) $f(x) = -3x^2 + |x| - 1$
1. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля.
2. Найдём $f(-x)$: $f(-x) = -3(-x)^2 + |-x| - 1$. Используя свойства $(-x)^2=x^2$ и $|-x|=|x|$, получаем: $f(-x) = -3x^2 + |x| - 1$.
Так как $f(-x) = f(x)$, оба условия выполнены. Следовательно, функция является чётной.
Ответ: доказано, что функция является чётной.

3) $f(x) = \sqrt{5 - x^2}$
1. Найдём область определения. Подкоренное выражение должно быть неотрицательно: $5 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 5 \implies -\sqrt{5} \le x \le \sqrt{5}$. Область определения $D(f) = [-\sqrt{5}; \sqrt{5}]$ симметрична относительно нуля.
2. Найдём $f(-x)$: $f(-x) = \sqrt{5 - (-x)^2} = \sqrt{5 - x^2}$.
Так как $f(-x) = f(x)$, оба условия выполнены. Следовательно, функция является чётной.
Ответ: доказано, что функция является чётной.

4) $f(x) = \frac{|5x - 2| + |5x + 2|}{x^2 - 1}$
1. Найдём область определения. Знаменатель не должен равняться нулю: $x^2 - 1 \neq 0 \implies x^2 \neq 1 \implies x \neq \pm 1$. Область определения $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$ симметрична относительно нуля.
2. Найдём $f(-x)$: $f(-x) = \frac{|5(-x) - 2| + |5(-x) + 2|}{(-x)^2 - 1} = \frac{|-5x - 2| + |-5x + 2|}{x^2 - 1}$.
Преобразуем числитель, используя свойство модуля $|-a| = |a|$ и коммутативность сложения: $|-5x - 2| + |-5x + 2| = |-(5x+2)| + |-(5x-2)| = |5x+2| + |5x-2| = |5x-2| + |5x+2|$.
Таким образом, $f(-x) = \frac{|5x - 2| + |5x + 2|}{x^2 - 1} = f(x)$. Оба условия выполнены. Следовательно, функция является чётной.
Ответ: доказано, что функция является чётной.

1.13. Докажите, что является нечётной функция:

1) $f(x) = 4x^7$;

2) $f(x) = 2x - 3x^5$;

3) $f(x) = x|x|$;

4) $f(x) = (5-x)^5 - (5+x)^5$;

5) $g(x) = \sqrt{2-x} - \sqrt{2+x}$;

6) $g(x) = \frac{3x+2}{x^2-x+1} + \frac{3x-2}{x^2+x+1}$.

Функция $f(x)$ называется нечётной, если для любого значения $x$ из её области определения $D(f)$ выполняются два условия:

1. Область определения симметрична относительно начала координат, то есть если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$.

2. Для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Проверим эти условия для каждой из заданных функций.

1) $f(x) = 4x^7$

Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной относительно нуля.
Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = 4(-x)^7 = 4(-1 \cdot x)^7 = 4((-1)^7 x^7) = 4(-1)x^7 = -4x^7$.
Теперь найдём $-f(x)$:
$-f(x) = -(4x^7) = -4x^7$.
Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.
Ответ: Доказано, что функция является нечётной.

2) $f(x) = 2x - 3x^5$

Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной.
Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = 2(-x) - 3(-x)^5 = -2x - 3(-x^5) = -2x + 3x^5$.
Теперь найдём $-f(x)$:
$-f(x) = -(2x - 3x^5) = -2x + 3x^5$.
Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.
Ответ: Доказано, что функция является нечётной.

3) $f(x) = x|x|$

Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной.
Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = (-x)|-x|$.
Используя свойство модуля $|-a| = |a|$, получаем:
$f(-x) = (-x)|x| = -x|x|$.
Так как $f(x) = x|x|$, то $-f(x) = -x|x|$.
Следовательно, $f(-x) = -f(x)$, и функция является нечётной.
Ответ: Доказано, что функция является нечётной.

4) $f(x) = (5-x)^5 - (5+x)^5$

Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной.
Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = (5 - (-x))^5 - (5 + (-x))^5 = (5 + x)^5 - (5 - x)^5$.
Теперь найдём $-f(x)$:
$-f(x) = -((5-x)^5 - (5+x)^5) = -(5-x)^5 + (5+x)^5 = (5+x)^5 - (5-x)^5$.
Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.
Ответ: Доказано, что функция является нечётной.

5) $g(x) = \sqrt{2-x} - \sqrt{2+x}$

Найдём область определения $D(g)$. Потребуем, чтобы подкоренные выражения были неотрицательными:
$\begin{cases} 2-x \ge 0 \\ 2+x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 2 \\ x \ge -2 \end{cases}$
Следовательно, $D(g) = [-2; 2]$. Эта область определения симметрична относительно нуля.
Найдём $g(-x)$:
$g(-x) = \sqrt{2 - (-x)} - \sqrt{2 + (-x)} = \sqrt{2+x} - \sqrt{2-x}$.
Теперь найдём $-g(x)$:
$-g(x) = -(\sqrt{2-x} - \sqrt{2+x}) = -\sqrt{2-x} + \sqrt{2+x} = \sqrt{2+x} - \sqrt{2-x}$.
Так как $g(-x) = -g(x)$, функция является нечётной.
Ответ: Доказано, что функция является нечётной.

6) $g(x) = \frac{3x+2}{x^2-x+1} + \frac{3x-2}{x^2+x+1}$

Найдём область определения $D(g)$. Знаменатели дробей не должны равняться нулю.
Для знаменателя $x^2-x+1$: дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$. Так как старший коэффициент положителен, $x^2-x+1 > 0$ для всех $x$.
Для знаменателя $x^2+x+1$: дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$. Так как старший коэффициент положителен, $x^2+x+1 > 0$ для всех $x$.
Следовательно, $D(g) = (-\infty; +\infty)$, и область определения симметрична.
Найдём $g(-x)$:
$g(-x) = \frac{3(-x)+2}{(-x)^2-(-x)+1} + \frac{3(-x)-2}{(-x)^2+(-x)+1} = \frac{-3x+2}{x^2+x+1} + \frac{-3x-2}{x^2-x+1}$.
Вынесем знак минус из числителей:
$g(-x) = \frac{-(3x-2)}{x^2+x+1} + \frac{-(3x+2)}{x^2-x+1} = - \left( \frac{3x+2}{x^2-x+1} + \frac{3x-2}{x^2+x+1} \right)$.
Выражение в скобках равно исходной функции $g(x)$. Таким образом, $g(-x) = -g(x)$.
Так как $g(-x) = -g(x)$, функция является нечётной.
Ответ: Доказано, что функция является нечётной.

1.14. Докажите, что является нечётной функция:

1) $f(x) = x - \frac{1}{x}$;

2) $f(x) = (x^3 + x)(x^4 - x^2)$;

3) $g(x) = \frac{|x|}{x}$;

4) $g(x) = \frac{|4x - 1| - |4x + 1|}{x^4 - 1}$.

Для доказательства того, что функция является нечётной, необходимо проверить выполнение двух условий:
1. Область определения функции $D(f)$ должна быть симметричной относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Для любого $x$ из области определения должно выполняться равенство $f(-x) = -f(x)$.

1)

Рассмотрим функцию $f(x) = x - \frac{1}{x}$.
1. Область определения функции (ОДЗ): $x \neq 0$, то есть $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Данная область определения симметрична относительно нуля.
2. Проверим условие нечётности $f(-x) = -f(x)$.
Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = (-x) - \frac{1}{-x} = -x + \frac{1}{x}$.
Теперь найдем $-f(x)$:
$-f(x) = -(x - \frac{1}{x}) = -x + \frac{1}{x}$.
Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано, что функция является нечётной.

2)

Рассмотрим функцию $f(x) = (x^3 + x)(x^4 - x^2)$.
1. Упростим выражение для функции, вынеся общие множители за скобки:
$f(x) = x(x^2 + 1) \cdot x^2(x^2 - 1) = x^3 (x^2 + 1)(x^2 - 1)$.
Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:
$f(x) = x^3 ( (x^2)^2 - 1^2 ) = x^3(x^4 - 1) = x^7 - x^3$.
Область определения полученной функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как это многочлен. Эта область симметрична относительно нуля.
2. Проверим условие нечётности $f(-x) = -f(x)$ для упрощенного вида функции $f(x) = x^7 - x^3$.
Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = (-x)^7 - (-x)^3 = -x^7 - (-x^3) = -x^7 + x^3$.
Теперь найдем $-f(x)$:
$-f(x) = -(x^7 - x^3) = -x^7 + x^3$.
Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано, что функция является нечётной.

3)

Рассмотрим функцию $g(x) = \frac{|x|}{x}$.
1. Область определения функции: знаменатель не может быть равен нулю, т.е. $x \neq 0$. $D(g) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.
2. Проверим условие нечётности $g(-x) = -g(x)$.
Найдем $g(-x)$:
$g(-x) = \frac{|-x|}{-x}$.
Используя свойство модуля $|-a| = |a|$, получаем:
$g(-x) = \frac{|x|}{-x} = -\frac{|x|}{x}$.
Теперь найдем $-g(x)$:
$-g(x) = - \left( \frac{|x|}{x} \right) = -\frac{|x|}{x}$.
Поскольку $g(-x) = -g(x)$, функция является нечётной, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано, что функция является нечётной.

4)

Рассмотрим функцию $g(x) = \frac{|4x - 1| - |4x + 1|}{x^4 - 1}$.
1. Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю.
$x^4 - 1 \neq 0 \implies (x^2 - 1)(x^2 + 1) \neq 0 \implies (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) \neq 0$.
Так как $x^2 + 1 > 0$ для любого действительного $x$, то $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
Область определения $D(g) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$ является симметричной относительно нуля.
2. Проверим условие нечётности $g(-x) = -g(x)$.
Найдем $g(-x)$:
$g(-x) = \frac{|4(-x) - 1| - |4(-x) + 1|}{(-x)^4 - 1} = \frac{|-4x - 1| - |-4x + 1|}{x^4 - 1}$.
Используя свойство модуля $|-a| = |a|$, преобразуем выражения в числителе:
$|-4x - 1| = |-(4x + 1)| = |4x + 1|$.
$|-4x + 1| = |-(4x - 1)| = |4x - 1|$.
Подставим полученные выражения обратно в $g(-x)$:
$g(-x) = \frac{|4x + 1| - |4x - 1|}{x^4 - 1}$.
Вынесем знак минус из числителя:
$g(-x) = \frac{-(|4x - 1| - |4x + 1|)}{x^4 - 1} = - \frac{|4x - 1| - |4x + 1|}{x^4 - 1}$.
Сравнивая результат с исходной функцией $g(x)$, видим, что $g(-x) = -g(x)$. Следовательно, функция является нечётной, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано, что функция является нечётной.

1.15. Исследуйте на чётность функцию:

1) $f(x) = \frac{x}{x}$;

2) $f(x) = \frac{x-1}{x-1}$;

3) $f(x) = \frac{x^2-1}{x^2-1}$;

4) $f(x) = \sqrt{x^2-1}$;

5) $f(x) = \sqrt{x-1} \cdot \sqrt{x+1}$;

6) $f(x) = \frac{x^3-x^2}{x^3-x}$.

1) $f(x) = \frac{x}{x}$

Для исследования функции на чётность сначала находим её область определения $D(f)$ и проверяем на симметричность относительно начала координат (если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$). Затем проверяем выполнение одного из условий: $f(-x) = f(x)$ (чётная функция) или $f(-x) = -f(x)$ (нечётная функция).

1. Область определения. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю, следовательно, $x \neq 0$.
Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля, так как если $x \neq 0$, то и $-x \neq 0$.

2. Проверка на чётность/нечётность. Упростим функцию для всех $x$ из области определения: $f(x) = \frac{x}{x} = 1$.
Найдём значение функции от аргумента $-x$: $f(-x) = 1$.
Сравнивая, получаем $f(-x) = 1$ и $f(x) = 1$. Таким образом, выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.
Следовательно, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

2) $f(x) = \frac{x-1}{x-1}$

1. Область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x - 1 \neq 0$, откуда $x \neq 1$.
Область определения $D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.
Эта область определения не является симметричной относительно нуля. Например, точка $x = -1$ принадлежит области определения, а противоположная ей точка $-x = -(-1) = 1$ не принадлежит.
Поскольку область определения несимметрична, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: функция не является ни чётной, ни нечётной.

3) $f(x) = \frac{x^2-1}{x^2-1}$

1. Область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^2 - 1 \neq 0$, что равносильно $(x-1)(x+1) \neq 0$. Отсюда $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
Область определения $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.
Эта область симметрична относительно нуля, так как если $x \neq \pm 1$, то и $-x \neq \pm 1$.

2. Проверка на чётность/нечётность. Упростим функцию для всех $x$ из области определения: $f(x) = \frac{x^2-1}{x^2-1} = 1$.
Найдём $f(-x) = 1$.
Так как $f(-x) = 1$ и $f(x) = 1$, выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.
Следовательно, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

4) $f(x) = \sqrt{x^2-1}$

1. Область определения. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x^2 - 1 \ge 0$.
Это неравенство эквивалентно $x^2 \ge 1$, или $|x| \ge 1$.
Область определения $D(f) = (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.
Эта область симметрична относительно нуля, поскольку если $|x| \ge 1$, то и $|-x| = |x| \ge 1$.

2. Проверка на чётность/нечётность. Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = \sqrt{(-x)^2 - 1} = \sqrt{x^2 - 1}$.
Сравнивая, видим, что $f(-x) = f(x)$.
Следовательно, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

5) $f(x) = \sqrt{x-1} \cdot \sqrt{x+1}$

1. Область определения. Выражения под каждым из корней должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:
$\begin{cases} x - 1 \ge 0 \\ x + 1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 1 \\ x \ge -1 \end{cases}$
Общим решением системы является $x \ge 1$.
Область определения $D(f) = [1; +\infty)$.
Эта область не является симметричной относительно нуля (например, $2 \in D(f)$, а $-2 \notin D(f)$).
Таким образом, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: функция не является ни чётной, ни нечётной.

6) $f(x) = \frac{x^3 - x^2}{x^3 - x}$

1. Область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^3 - x \neq 0$.
Разложим на множители: $x(x^2 - 1) \neq 0 \implies x(x-1)(x+1) \neq 0$.
Отсюда $x \neq 0$, $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
Область определения $D(f)$ — все действительные числа, кроме $0, 1, -1$. Эта область симметрична относительно нуля.

2. Проверка на чётность/нечётность. Упростим выражение для функции, разложив числитель и знаменатель на множители:
$f(x) = \frac{x^2(x - 1)}{x(x-1)(x+1)}$.
Для $x \in D(f)$ можно сократить дробь на $x$ и $(x-1)$:
$f(x) = \frac{x}{x+1}$.
Теперь найдём $f(-x)$:
$f(-x) = \frac{-x}{-x+1} = \frac{-x}{1-x} = \frac{x}{x-1}$.

3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$.
Проверим на чётность: $f(-x) = f(x) \implies \frac{x}{x-1} = \frac{x}{x+1}$. Равенство выполняется только при $x=0$, но эта точка не входит в $D(f)$. Следовательно, функция не является чётной.
Проверим на нечётность: $f(-x) = -f(x) \implies \frac{x}{x-1} = -\frac{x}{x+1}$. Это равенство также выполняется только при $x=0$, что не входит в $D(f)$. Следовательно, функция не является нечётной.

Ответ: функция не является ни чётной, ни нечётной.

1.16. Исследуйте на чётность функцию:

1) $f(x) = x^2 + 2x - 4;$

2) $f(x) = \frac{6x^3}{x^2 - 9};$

3) $f(x) = \frac{1}{1 - x} + \frac{1}{1 + x};$

4) $f(x) = \frac{x^2 + 6x}{2x + 12}.$

Для исследования функции на чётность необходимо проверить два условия:
1. Область определения функции $D(f)$ должна быть симметрична относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Должно выполняться одно из равенств:
- $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения. В этом случае функция является чётной.
- $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения. В этом случае функция является нечётной.
Если область определения несимметрична или ни одно из равенств не выполняется, то функция является ни чётной, ни нечётной (функцией общего вида).

1) $f(x) = x^2 + 2x - 4$

1. Область определения функции — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.
2. Найдём значение функции для $-x$:
$f(-x) = (-x)^2 + 2(-x) - 4 = x^2 - 2x - 4$.
3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:
$f(-x) = x^2 - 2x - 4$.
$f(x) = x^2 + 2x - 4$.
$-f(x) = -(x^2 + 2x - 4) = -x^2 - 2x + 4$.
Равенства $f(-x) = f(x)$ и $f(-x) = -f(x)$ не выполняются. Например, при $x=1$, $f(1) = 1+2-4=-1$, а $f(-1) = 1-2-4=-5$. Видим, что $f(-1) \neq f(1)$ и $f(-1) \neq -f(1)$.
Следовательно, функция не является ни чётной, ни нечётной.
Ответ: функция ни чётная, ни нечётная.

2) $f(x) = \frac{6x^3}{x^2 - 9}$

1. Найдём область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю:
$x^2 - 9 \neq 0 \implies x^2 \neq 9 \implies x \neq \pm 3$.
Область определения $D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.
2. Найдём значение функции для $-x$:
$f(-x) = \frac{6(-x)^3}{(-x)^2 - 9} = \frac{-6x^3}{x^2 - 9} = - \frac{6x^3}{x^2 - 9}$.
3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$:
Видим, что $f(-x) = -f(x)$.
Следовательно, функция является нечётной.
Ответ: функция нечётная.

3) $f(x) = \frac{1}{1-x} + \frac{1}{1+x}$

1. Найдём область определения функции. Знаменатели не должны быть равны нулю:
$1-x \neq 0 \implies x \neq 1$.
$1+x \neq 0 \implies x \neq -1$.
Область определения $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.
2. Найдём значение функции для $-x$:
$f(-x) = \frac{1}{1 - (-x)} + \frac{1}{1 + (-x)} = \frac{1}{1+x} + \frac{1}{1-x}$.
3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$:
Так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется, $f(-x) = f(x)$.
Следовательно, функция является чётной.
*Можно также упростить исходную функцию, приведя дроби к общему знаменателю:*
$f(x) = \frac{1(1+x) + 1(1-x)}{(1-x)(1+x)} = \frac{1+x+1-x}{1-x^2} = \frac{2}{1-x^2}$.
Тогда $f(-x) = \frac{2}{1-(-x)^2} = \frac{2}{1-x^2} = f(x)$, что подтверждает чётность функции.
Ответ: функция чётная.

4) $f(x) = \frac{x^2+6x}{2x+12}$

1. Найдём область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю:
$2x+12 \neq 0 \implies 2x \neq -12 \implies x \neq -6$.
Область определения $D(f) = (-\infty; -6) \cup (-6; +\infty)$.
Эта область определения не является симметричной относительно нуля, так как точка $x=6$ принадлежит области определения, а точка $x=-6$ — не принадлежит.
Поскольку не выполняется первое условие (симметричность области определения), функция не является ни чётной, ни нечётной.
*Примечание: Если упростить выражение, вынеся общие множители, получим $f(x) = \frac{x(x+6)}{2(x+6)} = \frac{x}{2}$ при условии $x \neq -6$. Функция $y=\frac{x}{2}$ является нечётной, но её область определения — все действительные числа. Исходная же функция $f(x)$ не определена в точке $x=-6$, из-за чего её область определения несимметрична.*
Ответ: функция ни чётная, ни нечётная.

1.17. Чётной или нечётной является функция, график которой изображён на рисунке 1.12?

Рис. 1.12

а

Оси: $y$, $x$. Метки на оси $x$: $-3$, $0$, $3$.

б

Оси: $y$, $x$. Метки на оси $x$: $-2$, $0$, $2$.

в

Оси: $y$, $x$. Метка на осях: $0$.

г

Оси: $y$, $x$. Метки на оси $x$: $-4$, $0$, $4$. Метки на оси $y$: $-4$, $0$, $4$.

Для определения чётности или нечётности функции по её графику, необходимо проверить его симметричность. Функция является чётной, если её область определения симметрична относительно нуля и её график симметричен относительно оси ординат (оси $y$). Для такой функции выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Функция является нечётной, если её область определения симметрична относительно нуля и её график симметричен относительно начала координат (точки $(0,0)$). Для такой функции выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Если ни одно из этих условий не выполняется, функция является ни чётной, ни нечётной.

Область определения функции, показанной на графике, – это отрезок $[-3, 3]$, который симметричен относительно нуля. График функции представляет собой параболу с вершиной в начале координат и симметричен относительно оси $y$. Это означает, что для любого $x$ из области определения выполняется условие $f(x) = f(-x)$. Следовательно, функция является чётной.

Ответ: чётная функция.

Область определения функции, показанной на графике, – это интервал $(-2, 2)$, который симметричен относительно нуля. График функции симметричен относительно начала координат (поворот на 180° вокруг точки $(0,0)$ отображает график сам на себя). Это означает, что для любого $x$ из области определения выполняется условие $f(-x) = -f(x)$. Следовательно, функция является нечётной.

Ответ: нечётная функция.

Область определения данной функции – это дискретное множество $\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$, которое симметрично относительно нуля. Проверим симметрию графика. График не является симметричным ни относительно оси $y$ (например, значения функции в точках $x=1$ и $x=-1$ не равны: $f(1) \neq f(-1)$), ни относительно начала координат (например, $f(-2) \neq -f(2)$). Следовательно, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: ни чётная, ни нечётная функция.

Данный график не является графиком функции в строгом определении, так как одному значению $x=0$ соответствуют два значения $y=4$ и $y=-4$. Однако, если рассматривать график как кривую, то она симметрична относительно начала координат. Если же интерпретировать его как график функции, у которой точка $x=0$ исключена из области определения (на что могут указывать пустые кружки на оси $y$), то область определения $D(f)=[-4, 0) \cup (0, 4]$ симметрична относительно нуля. В этом случае для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, что соответствует нечётной функции, так как график симметричен относительно начала координат. При такой интерпретации функция является нечётной.

Ответ: нечётная функция.