Номер 1.17, страница 11 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.17. Чётной или нечётной является функция, график которой изображён на рисунке 1.12?

Рис. 1.12

а

Оси: $y$, $x$. Метки на оси $x$: $-3$, $0$, $3$.

б

Оси: $y$, $x$. Метки на оси $x$: $-2$, $0$, $2$.

в

Оси: $y$, $x$. Метка на осях: $0$.

г

Оси: $y$, $x$. Метки на оси $x$: $-4$, $0$, $4$. Метки на оси $y$: $-4$, $0$, $4$.

Для определения чётности или нечётности функции по её графику, необходимо проверить его симметричность. Функция является чётной, если её область определения симметрична относительно нуля и её график симметричен относительно оси ординат (оси $y$). Для такой функции выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Функция является нечётной, если её область определения симметрична относительно нуля и её график симметричен относительно начала координат (точки $(0,0)$). Для такой функции выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Если ни одно из этих условий не выполняется, функция является ни чётной, ни нечётной.

Область определения функции, показанной на графике, – это отрезок $[-3, 3]$, который симметричен относительно нуля. График функции представляет собой параболу с вершиной в начале координат и симметричен относительно оси $y$. Это означает, что для любого $x$ из области определения выполняется условие $f(x) = f(-x)$. Следовательно, функция является чётной.

Ответ: чётная функция.

Область определения функции, показанной на графике, – это интервал $(-2, 2)$, который симметричен относительно нуля. График функции симметричен относительно начала координат (поворот на 180° вокруг точки $(0,0)$ отображает график сам на себя). Это означает, что для любого $x$ из области определения выполняется условие $f(-x) = -f(x)$. Следовательно, функция является нечётной.

Ответ: нечётная функция.

Область определения данной функции – это дискретное множество $\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$, которое симметрично относительно нуля. Проверим симметрию графика. График не является симметричным ни относительно оси $y$ (например, значения функции в точках $x=1$ и $x=-1$ не равны: $f(1) \neq f(-1)$), ни относительно начала координат (например, $f(-2) \neq -f(2)$). Следовательно, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: ни чётная, ни нечётная функция.

Данный график не является графиком функции в строгом определении, так как одному значению $x=0$ соответствуют два значения $y=4$ и $y=-4$. Однако, если рассматривать график как кривую, то она симметрична относительно начала координат. Если же интерпретировать его как график функции, у которой точка $x=0$ исключена из области определения (на что могут указывать пустые кружки на оси $y$), то область определения $D(f)=[-4, 0) \cup (0, 4]$ симметрична относительно нуля. В этом случае для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, что соответствует нечётной функции, так как график симметричен относительно начала координат. При такой интерпретации функция является нечётной.

Ответ: нечётная функция.