Номер 1.20, страница 12 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.20. О функции $f$, определённой на множестве $\mathbf{R}$, известно, что $f(x) = x^2 - 4x$ при $x \ge 0$. Постройте график этой функции, если она является:

По условию, функция $f$ определена на множестве всех действительных чисел $\mathbb{R}$. На промежутке $x \ge 0$ функция задана формулой $f(x) = x^2 - 4x$.

Сначала проанализируем и построим график этой функции для $x \ge 0$. Это часть параболы $y = x^2 - 4x$, ветви которой направлены вверх.

1. Найдем координаты вершины параболы:
$x_0 = - \frac{b}{2a} = - \frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.
Поскольку $2 \ge 0$, вершина параболы принадлежит рассматриваемому участку графика.
$y_0 = f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.
Координаты вершины: $(2; -4)$.

2. Найдем точки пересечения с осями координат на промежутке $x \ge 0$:
С осью Oy (при $x=0$): $f(0) = 0^2 - 4 \cdot 0 = 0$. Точка $(0; 0)$.
С осью Ox (при $f(x)=0$): $x^2 - 4x = 0 \Rightarrow x(x-4) = 0$.
Корни $x=0$ и $x=4$. Обе точки принадлежат промежутку $x \ge 0$. Точки $(0; 0)$ и $(4; 0)$.

Итак, для $x \ge 0$ мы имеем дугу параболы с вершиной в точке $(2; -4)$, которая проходит через точки $(0; 0)$ и $(4; 0)$.

1) чётной

Чётная функция удовлетворяет условию $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения. График чётной функции симметричен относительно оси ординат (оси Oy). Чтобы получить график функции $f$ для $x < 0$, нужно отразить построенную часть графика ($x \ge 0$) симметрично относительно оси Oy.

Найдем аналитическое выражение для функции при $x < 0$. Пусть $x < 0$. Тогда $-x > 0$. Используя определение чётности и заданную формулу, получаем: $f(x) = f(-x) = (-x)^2 - 4(-x) = x^2 + 4x$.

Таким образом, для чётной функции $f(x)$ имеем: $f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x, & \text{если } x \ge 0 \\ x^2 + 4x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$ что эквивалентно $f(x) = x^2 - 4|x|$.

График для $x < 0$ — это дуга параболы $y = x^2 + 4x$. Ее вершина находится в точке $(-2; -4)$, а с осью Ox она пересекается в точке $(-4; 0)$.
Итоговый график состоит из двух дуг парабол, симметричных относительно оси Oy.

Ответ: График функции представляет собой объединение дуг парабол $y = x^2 - 4x$ для $x \ge 0$ и $y = x^2 + 4x$ для $x < 0$. Он симметричен относительно оси Oy, имеет вершины в точках $(2; -4)$ и $(-2; -4)$ и пересекает ось Ox в точках $(-4; 0)$, $(0; 0)$ и $(4; 0)$.

2) нечётной

Нечётная функция удовлетворяет условию $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения. График нечётной функции симметричен относительно начала координат (точки $(0; 0)$). Чтобы получить график функции $f$ для $x < 0$, нужно отразить построенную часть графика ($x \ge 0$) симметрично относительно начала координат.

Найдем аналитическое выражение для функции при $x < 0$. Пусть $x < 0$. Тогда $-x > 0$. Используя определение нечётности и заданную формулу, получаем: $f(x) = -f(-x) = - ((-x)^2 - 4(-x)) = -(x^2 + 4x) = -x^2 - 4x$.

Таким образом, для нечётной функции $f(x)$ имеем: $f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x^2 - 4x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$ что эквивалентно $f(x) = x|x| - 4x$.

График для $x < 0$ — это дуга параболы $y = -x^2 - 4x$. Это парабола с ветвями, направленными вниз. Ее вершина находится в точке $(-2; 4)$ (симметрично точке $(2; -4)$ относительно начала координат), а с осью Ox она пересекается в точке $(-4; 0)$ (симметрично точке $(4; 0)$).
Итоговый график состоит из двух дуг парабол, симметричных относительно начала координат.

Ответ: График функции представляет собой объединение дуг парабол: $y = x^2 - 4x$ для $x \ge 0$ (ветви вверх, вершина в $(2; -4)$) и $y = -x^2 - 4x$ для $x < 0$ (ветви вниз, вершина в $(-2; 4)$). Он симметричен относительно начала координат и пересекает ось Ox в точках $(-4; 0)$, $(0; 0)$ и $(4; 0)$.