Номер 1.16, страница 11 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.16. Исследуйте на чётность функцию:

1) $f(x) = x^2 + 2x - 4;$

2) $f(x) = \frac{6x^3}{x^2 - 9};$

3) $f(x) = \frac{1}{1 - x} + \frac{1}{1 + x};$

4) $f(x) = \frac{x^2 + 6x}{2x + 12}.$

Для исследования функции на чётность необходимо проверить два условия:
1. Область определения функции $D(f)$ должна быть симметрична относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Должно выполняться одно из равенств:
- $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения. В этом случае функция является чётной.
- $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения. В этом случае функция является нечётной.
Если область определения несимметрична или ни одно из равенств не выполняется, то функция является ни чётной, ни нечётной (функцией общего вида).

1) $f(x) = x^2 + 2x - 4$

1. Область определения функции — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.
2. Найдём значение функции для $-x$:
$f(-x) = (-x)^2 + 2(-x) - 4 = x^2 - 2x - 4$.
3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:
$f(-x) = x^2 - 2x - 4$.
$f(x) = x^2 + 2x - 4$.
$-f(x) = -(x^2 + 2x - 4) = -x^2 - 2x + 4$.
Равенства $f(-x) = f(x)$ и $f(-x) = -f(x)$ не выполняются. Например, при $x=1$, $f(1) = 1+2-4=-1$, а $f(-1) = 1-2-4=-5$. Видим, что $f(-1) \neq f(1)$ и $f(-1) \neq -f(1)$.
Следовательно, функция не является ни чётной, ни нечётной.
Ответ: функция ни чётная, ни нечётная.

2) $f(x) = \frac{6x^3}{x^2 - 9}$

1. Найдём область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю:
$x^2 - 9 \neq 0 \implies x^2 \neq 9 \implies x \neq \pm 3$.
Область определения $D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.
2. Найдём значение функции для $-x$:
$f(-x) = \frac{6(-x)^3}{(-x)^2 - 9} = \frac{-6x^3}{x^2 - 9} = - \frac{6x^3}{x^2 - 9}$.
3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$:
Видим, что $f(-x) = -f(x)$.
Следовательно, функция является нечётной.
Ответ: функция нечётная.

3) $f(x) = \frac{1}{1-x} + \frac{1}{1+x}$

1. Найдём область определения функции. Знаменатели не должны быть равны нулю:
$1-x \neq 0 \implies x \neq 1$.
$1+x \neq 0 \implies x \neq -1$.
Область определения $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.
2. Найдём значение функции для $-x$:
$f(-x) = \frac{1}{1 - (-x)} + \frac{1}{1 + (-x)} = \frac{1}{1+x} + \frac{1}{1-x}$.
3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$:
Так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется, $f(-x) = f(x)$.
Следовательно, функция является чётной.
*Можно также упростить исходную функцию, приведя дроби к общему знаменателю:*
$f(x) = \frac{1(1+x) + 1(1-x)}{(1-x)(1+x)} = \frac{1+x+1-x}{1-x^2} = \frac{2}{1-x^2}$.
Тогда $f(-x) = \frac{2}{1-(-x)^2} = \frac{2}{1-x^2} = f(x)$, что подтверждает чётность функции.
Ответ: функция чётная.

4) $f(x) = \frac{x^2+6x}{2x+12}$

1. Найдём область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю:
$2x+12 \neq 0 \implies 2x \neq -12 \implies x \neq -6$.
Область определения $D(f) = (-\infty; -6) \cup (-6; +\infty)$.
Эта область определения не является симметричной относительно нуля, так как точка $x=6$ принадлежит области определения, а точка $x=-6$ — не принадлежит.
Поскольку не выполняется первое условие (симметричность области определения), функция не является ни чётной, ни нечётной.
*Примечание: Если упростить выражение, вынеся общие множители, получим $f(x) = \frac{x(x+6)}{2(x+6)} = \frac{x}{2}$ при условии $x \neq -6$. Функция $y=\frac{x}{2}$ является нечётной, но её область определения — все действительные числа. Исходная же функция $f(x)$ не определена в точке $x=-6$, из-за чего её область определения несимметрична.*
Ответ: функция ни чётная, ни нечётная.