Номер 1.10, страница 10 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.10. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y=x^2+2x-8$ на промежутке:

1) $[-5; -2];$

2) $[-5; 1];$

3) $[0; 3].$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений квадратичной функции $y = x^2 + 2x - 8$ на заданных промежутках, сначала определим ключевые свойства этой функции.

Графиком функции $y = x^2 + 2x - 8$ является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $1$ (положительный), поэтому ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет точку минимума в своей вершине.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$.

Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:

$x_v = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.

Ордината вершины — это значение функции в точке $x_v$:

$y_v = y(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 8 = 1 - 2 - 8 = -9$.

Вершина параболы находится в точке $(-1, -9)$. Это глобальный минимум функции.

Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на замкнутом промежутке достигаются либо в точках экстремума (для параболы — в вершине), если они принадлежат этому промежутку, либо на его концах.

1) На промежутке $[-5; -2]$.

Абсцисса вершины $x_v = -1$ не входит в промежуток $[-5; -2]$. Так как промежуток $[-5; -2]$ находится полностью левее вершины, функция на этом промежутке монотонно убывает. Следовательно, наибольшее значение достигается на левом конце промежутка, а наименьшее — на правом.

Вычисляем значения на концах промежутка:

$y(-5) = (-5)^2 + 2(-5) - 8 = 25 - 10 - 8 = 7$.

$y(-2) = (-2)^2 + 2(-2) - 8 = 4 - 4 - 8 = -8$.

Ответ: $y_{наиб} = 7$, $y_{наим} = -8$.

2) На промежутке $[-5; 1]$.

Абсцисса вершины $x_v = -1$ входит в промежуток $[-5; 1]$. Поскольку вершина является точкой минимума для данной параболы, наименьшее значение функции на этом промежутке будет равно значению в вершине.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-1) = -9$.

Для нахождения наибольшего значения необходимо сравнить значения функции на концах промежутка.

$y(-5) = (-5)^2 + 2(-5) - 8 = 25 - 10 - 8 = 7$.

$y(1) = 1^2 + 2(1) - 8 = 1 + 2 - 8 = -5$.

Сравнивая $7$ и $-5$, видим, что наибольшее значение равно $7$.

Ответ: $y_{наиб} = 7$, $y_{наим} = -9$.

3) На промежутке $[0; 3]$.

Абсцисса вершины $x_v = -1$ не входит в промежуток $[0; 3]$. Так как промежуток $[0; 3]$ находится полностью правее вершины, функция на этом промежутке монотонно возрастает. Следовательно, наименьшее значение достигается на левом конце промежутка, а наибольшее — на правом.

Вычисляем значения на концах промежутка:

$y(0) = 0^2 + 2 \cdot 0 - 8 = -8$.

$y(3) = 3^2 + 2 \cdot 3 - 8 = 9 + 6 - 8 = 7$.

Ответ: $y_{наиб} = 7$, $y_{наим} = -8$.