Номер 1.15, страница 11 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.15. Исследуйте на чётность функцию:

1) $f(x) = \frac{x}{x}$;

2) $f(x) = \frac{x-1}{x-1}$;

3) $f(x) = \frac{x^2-1}{x^2-1}$;

4) $f(x) = \sqrt{x^2-1}$;

5) $f(x) = \sqrt{x-1} \cdot \sqrt{x+1}$;

6) $f(x) = \frac{x^3-x^2}{x^3-x}$.

1) $f(x) = \frac{x}{x}$

Для исследования функции на чётность сначала находим её область определения $D(f)$ и проверяем на симметричность относительно начала координат (если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$). Затем проверяем выполнение одного из условий: $f(-x) = f(x)$ (чётная функция) или $f(-x) = -f(x)$ (нечётная функция).

1. Область определения. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю, следовательно, $x \neq 0$.
Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля, так как если $x \neq 0$, то и $-x \neq 0$.

2. Проверка на чётность/нечётность. Упростим функцию для всех $x$ из области определения: $f(x) = \frac{x}{x} = 1$.
Найдём значение функции от аргумента $-x$: $f(-x) = 1$.
Сравнивая, получаем $f(-x) = 1$ и $f(x) = 1$. Таким образом, выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.
Следовательно, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

2) $f(x) = \frac{x-1}{x-1}$

1. Область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x - 1 \neq 0$, откуда $x \neq 1$.
Область определения $D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.
Эта область определения не является симметричной относительно нуля. Например, точка $x = -1$ принадлежит области определения, а противоположная ей точка $-x = -(-1) = 1$ не принадлежит.
Поскольку область определения несимметрична, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: функция не является ни чётной, ни нечётной.

3) $f(x) = \frac{x^2-1}{x^2-1}$

1. Область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^2 - 1 \neq 0$, что равносильно $(x-1)(x+1) \neq 0$. Отсюда $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
Область определения $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.
Эта область симметрична относительно нуля, так как если $x \neq \pm 1$, то и $-x \neq \pm 1$.

2. Проверка на чётность/нечётность. Упростим функцию для всех $x$ из области определения: $f(x) = \frac{x^2-1}{x^2-1} = 1$.
Найдём $f(-x) = 1$.
Так как $f(-x) = 1$ и $f(x) = 1$, выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.
Следовательно, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

4) $f(x) = \sqrt{x^2-1}$

1. Область определения. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x^2 - 1 \ge 0$.
Это неравенство эквивалентно $x^2 \ge 1$, или $|x| \ge 1$.
Область определения $D(f) = (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.
Эта область симметрична относительно нуля, поскольку если $|x| \ge 1$, то и $|-x| = |x| \ge 1$.

2. Проверка на чётность/нечётность. Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = \sqrt{(-x)^2 - 1} = \sqrt{x^2 - 1}$.
Сравнивая, видим, что $f(-x) = f(x)$.
Следовательно, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

5) $f(x) = \sqrt{x-1} \cdot \sqrt{x+1}$

1. Область определения. Выражения под каждым из корней должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:
$\begin{cases} x - 1 \ge 0 \\ x + 1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 1 \\ x \ge -1 \end{cases}$
Общим решением системы является $x \ge 1$.
Область определения $D(f) = [1; +\infty)$.
Эта область не является симметричной относительно нуля (например, $2 \in D(f)$, а $-2 \notin D(f)$).
Таким образом, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: функция не является ни чётной, ни нечётной.

6) $f(x) = \frac{x^3 - x^2}{x^3 - x}$

1. Область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^3 - x \neq 0$.
Разложим на множители: $x(x^2 - 1) \neq 0 \implies x(x-1)(x+1) \neq 0$.
Отсюда $x \neq 0$, $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
Область определения $D(f)$ — все действительные числа, кроме $0, 1, -1$. Эта область симметрична относительно нуля.

2. Проверка на чётность/нечётность. Упростим выражение для функции, разложив числитель и знаменатель на множители:
$f(x) = \frac{x^2(x - 1)}{x(x-1)(x+1)}$.
Для $x \in D(f)$ можно сократить дробь на $x$ и $(x-1)$:
$f(x) = \frac{x}{x+1}$.
Теперь найдём $f(-x)$:
$f(-x) = \frac{-x}{-x+1} = \frac{-x}{1-x} = \frac{x}{x-1}$.

3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$.
Проверим на чётность: $f(-x) = f(x) \implies \frac{x}{x-1} = \frac{x}{x+1}$. Равенство выполняется только при $x=0$, но эта точка не входит в $D(f)$. Следовательно, функция не является чётной.
Проверим на нечётность: $f(-x) = -f(x) \implies \frac{x}{x-1} = -\frac{x}{x+1}$. Это равенство также выполняется только при $x=0$, что не входит в $D(f)$. Следовательно, функция не является нечётной.

Ответ: функция не является ни чётной, ни нечётной.