Номер 1.13, страница 11 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.13. Докажите, что является нечётной функция:

1) $f(x) = 4x^7$;

2) $f(x) = 2x - 3x^5$;

3) $f(x) = x|x|$;

4) $f(x) = (5-x)^5 - (5+x)^5$;

5) $g(x) = \sqrt{2-x} - \sqrt{2+x}$;

6) $g(x) = \frac{3x+2}{x^2-x+1} + \frac{3x-2}{x^2+x+1}$.

Функция $f(x)$ называется нечётной, если для любого значения $x$ из её области определения $D(f)$ выполняются два условия:

1. Область определения симметрична относительно начала координат, то есть если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$.

2. Для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Проверим эти условия для каждой из заданных функций.

1) $f(x) = 4x^7$

Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной относительно нуля.
Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = 4(-x)^7 = 4(-1 \cdot x)^7 = 4((-1)^7 x^7) = 4(-1)x^7 = -4x^7$.
Теперь найдём $-f(x)$:
$-f(x) = -(4x^7) = -4x^7$.
Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.
Ответ: Доказано, что функция является нечётной.

2) $f(x) = 2x - 3x^5$

Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной.
Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = 2(-x) - 3(-x)^5 = -2x - 3(-x^5) = -2x + 3x^5$.
Теперь найдём $-f(x)$:
$-f(x) = -(2x - 3x^5) = -2x + 3x^5$.
Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.
Ответ: Доказано, что функция является нечётной.

3) $f(x) = x|x|$

Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной.
Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = (-x)|-x|$.
Используя свойство модуля $|-a| = |a|$, получаем:
$f(-x) = (-x)|x| = -x|x|$.
Так как $f(x) = x|x|$, то $-f(x) = -x|x|$.
Следовательно, $f(-x) = -f(x)$, и функция является нечётной.
Ответ: Доказано, что функция является нечётной.

4) $f(x) = (5-x)^5 - (5+x)^5$

Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной.
Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = (5 - (-x))^5 - (5 + (-x))^5 = (5 + x)^5 - (5 - x)^5$.
Теперь найдём $-f(x)$:
$-f(x) = -((5-x)^5 - (5+x)^5) = -(5-x)^5 + (5+x)^5 = (5+x)^5 - (5-x)^5$.
Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.
Ответ: Доказано, что функция является нечётной.

5) $g(x) = \sqrt{2-x} - \sqrt{2+x}$

Найдём область определения $D(g)$. Потребуем, чтобы подкоренные выражения были неотрицательными:
$\begin{cases} 2-x \ge 0 \\ 2+x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 2 \\ x \ge -2 \end{cases}$
Следовательно, $D(g) = [-2; 2]$. Эта область определения симметрична относительно нуля.
Найдём $g(-x)$:
$g(-x) = \sqrt{2 - (-x)} - \sqrt{2 + (-x)} = \sqrt{2+x} - \sqrt{2-x}$.
Теперь найдём $-g(x)$:
$-g(x) = -(\sqrt{2-x} - \sqrt{2+x}) = -\sqrt{2-x} + \sqrt{2+x} = \sqrt{2+x} - \sqrt{2-x}$.
Так как $g(-x) = -g(x)$, функция является нечётной.
Ответ: Доказано, что функция является нечётной.

6) $g(x) = \frac{3x+2}{x^2-x+1} + \frac{3x-2}{x^2+x+1}$

Найдём область определения $D(g)$. Знаменатели дробей не должны равняться нулю.
Для знаменателя $x^2-x+1$: дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$. Так как старший коэффициент положителен, $x^2-x+1 > 0$ для всех $x$.
Для знаменателя $x^2+x+1$: дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$. Так как старший коэффициент положителен, $x^2+x+1 > 0$ для всех $x$.
Следовательно, $D(g) = (-\infty; +\infty)$, и область определения симметрична.
Найдём $g(-x)$:
$g(-x) = \frac{3(-x)+2}{(-x)^2-(-x)+1} + \frac{3(-x)-2}{(-x)^2+(-x)+1} = \frac{-3x+2}{x^2+x+1} + \frac{-3x-2}{x^2-x+1}$.
Вынесем знак минус из числителей:
$g(-x) = \frac{-(3x-2)}{x^2+x+1} + \frac{-(3x+2)}{x^2-x+1} = - \left( \frac{3x+2}{x^2-x+1} + \frac{3x-2}{x^2+x+1} \right)$.
Выражение в скобках равно исходной функции $g(x)$. Таким образом, $g(-x) = -g(x)$.
Так как $g(-x) = -g(x)$, функция является нечётной.
Ответ: Доказано, что функция является нечётной.