Номер 1.19, страница 12 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.19. Ломаная ABCD, где $A (0; 0)$, $B (2; -2)$, $C (3; 4)$, $D (6; 1)$, является частью графика функции $y = f(x)$, определённой на промежутке $[-6; 6]$.

Постройте график этой функции, если она является:

1) чётной;

2) нечётной.

По условию, нам дана часть графика функции $y = f(x)$ на промежутке $[0; 6]$. Эта часть представляет собой ломаную $ABCD$ с вершинами в точках $A(0; 0)$, $B(2; -2)$, $C(3; 4)$ и $D(6; 1)$. Функция определена на симметричном промежутке $[-6; 6]$. Нам нужно достроить график на промежутке $[-6; 0)$ для двух случаев.

1) чётной;

Чётная функция удовлетворяет условию $f(-x) = f(x)$ для любого $x$ из области определения. График чётной функции симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$).

Чтобы построить часть графика на промежутке $[-6; 0]$, необходимо отразить существующую часть графика (на промежутке $[0; 6]$) симметрично относительно оси $Oy$. Каждая точка $(x; y)$ на графике при таком отражении переходит в точку $(-x; y)$.

Найдем координаты вершин ломаной на промежутке $[-6; 0]$. Обозначим их $A'$, $B'$, $C'$, $D'$.

• Точка $A(0; 0)$ лежит на оси симметрии, поэтому она отображается сама на себя: $A' = A(0; 0)$.
• Точка $B(2; -2)$ отображается в точку $B'(-2; -2)$.
• Точка $C(3; 4)$ отображается в точку $C'(-3; 4)$.
• Точка $D(6; 1)$ отображается в точку $D'(-6; 1)$.

Таким образом, на промежутке $[-6; 0]$ график функции является ломаной $D'C'B'A$. Полный график функции на отрезке $[-6; 6]$ представляет собой объединение двух ломаных: исходной $ABCD$ и построенной $D'C'B'A$.

Ответ: График функции состоит из ломаной $ABCD$ с вершинами $A(0; 0)$, $B(2; -2)$, $C(3; 4)$, $D(6; 1)$ и ломаной $D'C'B'A$ с вершинами $D'(-6; 1)$, $C'(-3; 4)$, $B'(-2; -2)$, $A(0; 0)$, которая симметрична исходной относительно оси $Oy$.

2) нечётной.

Нечётная функция удовлетворяет условию $f(-x) = -f(x)$ для любого $x$ из области определения. График нечётной функции симметричен относительно начала координат, точки $O(0; 0)$.

Чтобы построить часть графика на промежутке $[-6; 0]$, необходимо отразить существующую часть графика симметрично относительно начала координат. Каждая точка $(x; y)$ на графике при таком отражении переходит в точку $(-x; -y)$.

Найдем координаты вершин ломаной на промежутке $[-6; 0]$. Обозначим их $A''$, $B''$, $C''$, $D''$.

• Точка $A(0; 0)$ является центром симметрии, поэтому она отображается сама на себя: $A'' = A(0; 0)$.
• Точка $B(2; -2)$ отображается в точку $B''(-2; -(-2)) = B''(-2; 2)$.
• Точка $C(3; 4)$ отображается в точку $C''(-3; -4)$.
• Точка $D(6; 1)$ отображается в точку $D''(-6; -1)$.

Таким образом, на промежутке $[-6; 0]$ график функции является ломаной $D''C''B''A$. Полный график функции на отрезке $[-6; 6]$ представляет собой объединение двух ломаных: исходной $ABCD$ и построенной $D''C''B''A$.

Ответ: График функции состоит из ломаной $ABCD$ с вершинами $A(0; 0)$, $B(2; -2)$, $C(3; 4)$, $D(6; 1)$ и ломаной $D''C''B''A$ с вершинами $D''(-6; -1)$, $C''(-3; -4)$, $B''(-2; 2)$, $A(0; 0)$, которая симметрична исходной относительно начала координат.