Номер 1.24, страница 12 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.24. Сумма двух чисел равна 8. Найдите:

1) какое наибольшее значение может принимать произведение этих чисел;

2) какое наименьшее значение может принимать сумма квадратов этих чисел.

Пусть два искомых числа будут $x$ и $y$. Согласно условию задачи, их сумма равна 8:

$x + y = 8$

Из этого уравнения мы можем выразить одно число через другое, например, $y$ через $x$:

$y = 8 - x$

Теперь мы можем использовать это выражение для решения обеих частей задачи.

1) какое наибольшее значение может принимать произведение этих чисел;

Обозначим произведение этих чисел как $P$. Нам нужно найти максимальное значение $P = xy$. Подставим выражение $y = 8 - x$ в формулу для произведения:

$P(x) = x(8 - x) = 8x - x^2$

Полученное выражение $P(x) = -x^2 + 8x$ является квадратичной функцией. Её график — это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-1$). Следовательно, эта функция имеет максимальное значение в своей вершине.

Абсцисса вершины параболы $ax^2 + bx + c$ находится по формуле $x_0 = -b/(2a)$. Для нашей функции $a = -1$ и $b = 8$.

$x_0 = \frac{-8}{2 \cdot (-1)} = \frac{-8}{-2} = 4$

Таким образом, произведение достигает своего максимума, когда $x = 4$. Найдем соответствующее значение $y$:

$y = 8 - 4 = 4$

Наибольшее значение произведения равно:

$P_{max} = 4 \cdot 4 = 16$

Ответ: 16

2) какое наименьшее значение может принимать сумма квадратов этих чисел.

Обозначим сумму квадратов этих чисел как $S$. Нам нужно найти минимальное значение $S = x^2 + y^2$. Снова воспользуемся подстановкой $y = 8 - x$:

$S(x) = x^2 + (8 - x)^2$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$S(x) = x^2 + (64 - 16x + x^2) = 2x^2 - 16x + 64$

Это также квадратичная функция. Её график — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($2$). Следовательно, функция имеет минимальное значение в своей вершине.

Найдем абсциссу вершины. Для функции $S(x)$ коэффициенты равны $a = 2$ и $b = -16$.

$x_0 = \frac{-(-16)}{2 \cdot 2} = \frac{16}{4} = 4$

Следовательно, сумма квадратов достигает своего минимума при $x = 4$. Значение $y$ также будет равно 4.

Наименьшее значение суммы квадратов равно:

$S_{min} = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32$

Ответ: 32