Номер 1.30, страница 13 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.30. Областью определения чётной функции f и нечётной функции g является множество M. Исследуйте на чётность функцию:

1) $y = f(x) + g(x)$;

2) $y = f(x) - g(x)$;

3) $y = f(x) \cdot g(x)$.

По условию, функция $f(x)$ является чётной, а функция $g(x)$ — нечётной. Обе функции определены на одном и том же множестве $M$, которое является симметричным относительно нуля.

Это означает, что для любого $x$ из области определения $M$ выполняются следующие равенства:

• Для чётной функции $f(x)$: $f(-x) = f(x)$
• Для нечётной функции $g(x)$: $g(-x) = -g(x)$

Чтобы исследовать функцию на чётность, необходимо найти её значение в точке $-x$ и сравнить его со значением в точке $x$.

1) $y = f(x) + g(x)$

Обозначим нашу функцию как $h(x) = f(x) + g(x)$. Найдём значение этой функции в точке $-x$: $h(-x) = f(-x) + g(-x)$.

Используя свойства чётности функции $f$ и нечётности функции $g$, подставим их в выражение: $h(-x) = f(x) + (-g(x)) = f(x) - g(x)$.

Теперь сравним полученный результат с $h(x)$ и $-h(x)$:

• $h(-x) = f(x) - g(x)$.
• $h(x) = f(x) + g(x)$.
• $-h(x) = -(f(x) + g(x)) = -f(x) - g(x)$.

В общем случае $h(-x) \neq h(x)$ и $h(-x) \neq -h(x)$. Равенство $h(-x) = h(x)$ выполнялось бы только при $g(x) = 0$, а равенство $h(-x) = -h(x)$ — только при $f(x) = 0$. Так как в общем случае функции $f(x)$ и $g(x)$ не равны нулю тождественно, данная функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: функция является функцией общего вида (ни чётной, ни нечётной).

2) $y = f(x) - g(x)$

Обозначим нашу функцию как $h(x) = f(x) - g(x)$. Найдём значение этой функции в точке $-x$: $h(-x) = f(-x) - g(-x)$.

Используя свойства чётности и нечётности, получаем: $h(-x) = f(x) - (-g(x)) = f(x) + g(x)$.

Сравним полученный результат с $h(x)$ и $-h(x)$:

• $h(-x) = f(x) + g(x)$.
• $h(x) = f(x) - g(x)$.
• $-h(x) = -(f(x) - g(x)) = -f(x) + g(x)$.

Как и в предыдущем пункте, в общем случае $h(-x) \neq h(x)$ и $h(-x) \neq -h(x)$. Следовательно, данная функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: функция является функцией общего вида (ни чётной, ни нечётной).

3) $y = f(x) \cdot g(x)$

Обозначим нашу функцию как $h(x) = f(x) \cdot g(x)$. Найдём значение этой функции в точке $-x$: $h(-x) = f(-x) \cdot g(-x)$.

Подставим свойства исходных функций: $h(-x) = f(x) \cdot (-g(x)) = - (f(x) \cdot g(x))$.

Мы получили, что $h(-x) = -h(x)$. По определению, это означает, что функция является нечётной.

Ответ: функция является нечётной.