Номер 1.34, страница 13 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.34. Нечётная функция $f$, определённая на множестве $\mathbf{R}$, возрастает на промежутке $[0; +\infty)$. Определите, возрастает или убывает функция $f$ на промежутке $(-\infty; 0]$.

По условию задачи, функция $f$ является нечётной и определена на множестве всех действительных чисел $R$. Свойство нечётности означает, что для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Также нам дано, что функция $f$ возрастает на промежутке $[0; +\infty)$. По определению возрастающей функции, это значит, что для любых двух значений $a$ и $b$ из этого промежутка, таких что $a < b$, справедливо неравенство $f(a) < f(b)$.

Нам нужно исследовать поведение функции на промежутке $(-\infty; 0]$. Для этого возьмём две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, для которых выполняется условие $x_1 < x_2$. Так как обе точки принадлежат промежутку $(-\infty; 0]$, то $x_1 < x_2 \le 0$.

Рассмотрим значения $-x_1$ и $-x_2$. Умножив неравенство $x_1 < x_2$ на $-1$, мы изменим знак неравенства на противоположный:

$-x_1 > -x_2$

Поскольку $x_2 \le 0$, то $-x_2 \ge 0$. Таким образом, точки $-x_1$ и $-x_2$ принадлежат промежутку $[0; +\infty)$, и для них справедливо неравенство $0 \le -x_2 < -x_1$.

Так как функция $f$ по условию возрастает на промежутке $[0; +\infty)$, то для точек $-x_2$ и $-x_1$ из этого промежутка, удовлетворяющих неравенству $-x_2 < -x_1$, будет выполняться неравенство:

$f(-x_2) < f(-x_1)$

Теперь воспользуемся свойством нечётности функции $f$, согласно которому $f(-x) = -f(x)$. Применим это свойство к обеим частям полученного неравенства:

$-f(x_2) < -f(x_1)$

Наконец, умножим последнее неравенство на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства снова меняется на противоположный:

$f(x_2) > f(x_1)$

Это неравенство можно записать как $f(x_1) < f(x_2)$.

Таким образом, мы показали, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из промежутка $(-\infty; 0]$, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$. Это является определением возрастающей функции.

Ответ: функция $f$ возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$.