Номер 1.41, страница 14 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.41. Найдите промежутки знакопостоянства функции:

1) $y = -7x + 3$;

2) $y = x^2 - 8x + 16$;

3) $y = \frac{6}{4 - x}$;

4) $y = -x^2 - 1$;

5) $y = 3x^2 - 7x + 4$;

6) $y = -2x^2 + 3x - 1$.

1) Для функции $y = -7x + 3$ найдем нули, решив уравнение $-7x + 3 = 0$. Получаем $7x = 3$, откуда $x = \frac{3}{7}$. Это линейная убывающая функция, так как коэффициент при $x$ отрицателен ($-7 < 0$). Следовательно, функция положительна ($y > 0$) при значениях $x$ левее корня и отрицательна ($y < 0$) при значениях $x$ правее корня.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; \frac{3}{7})$; $y < 0$ при $x \in (\frac{3}{7}; +\infty)$.

2) Функция $y = x^2 - 8x + 16$ представляет собой полный квадрат: $y = (x - 4)^2$. Выражение $(x - 4)^2$ всегда неотрицательно, то есть $y \ge 0$ для любых действительных $x$. Функция обращается в нуль в точке $x = 4$. Во всех остальных точках ($x \neq 4$) функция строго положительна.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$; нет значений $x$, при которых $y < 0$.

3) Для функции $y = \frac{6}{4 - x}$ область определения — все действительные числа, кроме $x = 4$, так как знаменатель не может быть равен нулю. Нулей у функции нет, поскольку числитель 6 отличен от нуля. Знак функции зависит от знака знаменателя $4 - x$.
Если $x < 4$, то $4 - x > 0$, и $y = \frac{6}{+} > 0$.
Если $x > 4$, то $4 - x < 0$, и $y = \frac{6}{-} < 0$.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 4)$; $y < 0$ при $x \in (4; +\infty)$.

4) В функции $y = -x^2 - 1$ выражение $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$). Следовательно, $-x^2 \le 0$, а $-x^2 - 1 \le -1$. Это означает, что значение функции всегда отрицательно для любого действительного $x$ и никогда не бывает положительным или равным нулю.
Ответ: нет значений $x$, при которых $y > 0$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; +\infty)$.

5) Для квадратичной функции $y = 3x^2 - 7x + 4$ найдем ее нули, решив уравнение $3x^2 - 7x + 4 = 0$. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1$. Корни уравнения: $x_1 = \frac{7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$ и $x_2 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ равен $3 > 0$). Следовательно, функция положительна вне интервала между корнями и отрицательна на интервале между корнями.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 1) \cup (\frac{4}{3}; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (1; \frac{4}{3})$.

6) Для квадратичной функции $y = -2x^2 + 3x - 1$ найдем ее нули, решив уравнение $-2x^2 + 3x - 1 = 0$. Для удобства умножим на $-1$: $2x^2 - 3x + 1 = 0$. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$. Корни уравнения: $x_1 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ равен $-2 < 0$). Следовательно, функция положительна на интервале между корнями и отрицательна вне интервала между корнями.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (\frac{1}{2}; 1)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; \frac{1}{2}) \cup (1; +\infty)$.