Номер 1.37, страница 13 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.37. Функция задана формулой $f(x) = -3x^2 + 2x$.

1) Найдите: $f(1); f(0); f(\frac{1}{3}); f(-2)$.

2) Найдите значения аргумента, при которых значение функции $f$ равно: $0; -1; -56$.

Функция задана формулой $f(x) = -3x^2 + 2x$.

1) Найдите: f(1); f(0); f(1/3); f(-2).

Для нахождения значений функции необходимо подставить указанные значения аргумента $x$ в формулу функции.

• При $x = 1$:

  $f(1) = -3 \cdot (1)^2 + 2 \cdot 1 = -3 \cdot 1 + 2 = -3 + 2 = -1$.

• При $x = 0$:

  $f(0) = -3 \cdot (0)^2 + 2 \cdot 0 = -3 \cdot 0 + 0 = 0 + 0 = 0$.

• При $x = \frac{1}{3}$:

  $f(\frac{1}{3}) = -3 \cdot (\frac{1}{3})^2 + 2 \cdot \frac{1}{3} = -3 \cdot \frac{1}{9} + \frac{2}{3} = -\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.

• При $x = -2$:

  $f(-2) = -3 \cdot (-2)^2 + 2 \cdot (-2) = -3 \cdot 4 - 4 = -12 - 4 = -16$.

Ответ: $f(1) = -1$; $f(0) = 0$; $f(\frac{1}{3}) = \frac{1}{3}$; $f(-2) = -16$.

2) Найдите значения аргумента, при которых значение функции f равно: 0; -1; -56.

Для нахождения значений аргумента $x$, при которых функция $f(x)$ принимает заданные значения, необходимо решить соответствующие уравнения.

• При $f(x) = 0$:

  Получаем уравнение: $-3x^2 + 2x = 0$.

  Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

  $x(-3x + 2) = 0$.

  Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

  $x_1 = 0$ или $-3x + 2 = 0 \implies -3x = -2 \implies x_2 = \frac{2}{3}$.

• При $f(x) = -1$:

  Получаем уравнение: $-3x^2 + 2x = -1$.

  Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $-3x^2 + 2x + 1 = 0$.

  Для удобства умножим обе части на -1: $3x^2 - 2x - 1 = 0$.

  Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

  $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.

  Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

  $x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 4}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

  $x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 4}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.

• При $f(x) = -56$:

  Получаем уравнение: $-3x^2 + 2x = -56$.

  Перенесем все слагаемые в одну сторону: $-3x^2 + 2x + 56 = 0$.

  Умножим обе части на -1: $3x^2 - 2x - 56 = 0$.

  Найдем дискриминант:

  $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-56) = 4 + 672 = 676$.

  Так как $\sqrt{676} = 26$, найдем корни уравнения:

  $x_1 = \frac{-(-2) + 26}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 26}{6} = \frac{28}{6} = \frac{14}{3}$.

  $x_2 = \frac{-(-2) - 26}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 26}{6} = \frac{-24}{6} = -4$.

Ответ: при $f(x) = 0$ аргумент $x$ равен $0$ или $\frac{2}{3}$; при $f(x) = -1$ аргумент $x$ равен $1$ или $-\frac{1}{3}$; при $f(x) = -56$ аргумент $x$ равен $\frac{14}{3}$ или $-4$.