Номер 1.40, страница 14 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.40. Найдите нули функции:

1) $f(x) = 0.4x - 8;$

2) $g(x) = 28 + 3x - x^2;$

3) $h(x) = \sqrt{x + 4};$

4) $\varphi(x) = \frac{x^2 + x - 30}{x + 5};$

5) $f(x) = x^3 - 9x;$

6) $g(x) = x^2 + 4.$

1) Чтобы найти нули функции $f(x) = 0,4x - 8$, необходимо решить уравнение $f(x) = 0$.

$0,4x - 8 = 0$

$0,4x = 8$

$x = \frac{8}{0,4}$

$x = 20$

Ответ: 20.

2) Чтобы найти нули функции $g(x) = 28 + 3x - x^2$, необходимо решить уравнение $g(x) = 0$.

$28 + 3x - x^2 = 0$

Для удобства умножим все члены уравнения на -1, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:

$x^2 - 3x - 28 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121 = 11^2$

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm 11}{2}$

$x_1 = \frac{3 + 11}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$x_2 = \frac{3 - 11}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Ответ: -4; 7.

3) Чтобы найти нули функции $h(x) = \sqrt{x+4}$, необходимо решить уравнение $h(x) = 0$.

$\sqrt{x+4} = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данной функции определяется условием, что выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x+4 \ge 0$, откуда $x \ge -4$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x+4})^2 = 0^2$

$x+4 = 0$

$x = -4$

Данное значение $x=-4$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -4.

4) Чтобы найти нули функции $\varphi(x) = \frac{x^2+x-30}{x+5}$, необходимо приравнять числитель дроби к нулю, при этом знаменатель не должен быть равен нулю.

Определим ОДЗ: $x+5 \ne 0 \implies x \ne -5$.

Теперь решим уравнение, приравняв числитель к нулю:

$x^2+x-30 = 0$

Воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-30$.

$x_1 + x_2 = -1$

$x_1 \cdot x_2 = -30$

Методом подбора находим корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = -6$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \ne -5$), поэтому оба являются нулями функции.

Ответ: -6; 5.

5) Чтобы найти нули функции $f(x) = x^3 - 9x$, необходимо решить уравнение $f(x) = 0$.

$x^3 - 9x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 9) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$x=0$ или $x^2 - 9 = 0$

Решая второе уравнение, получаем:

$x^2 = 9$

$x = \pm\sqrt{9}$, то есть $x=3$ или $x=-3$.

Таким образом, функция имеет три нуля.

Ответ: -3; 0; 3.

6) Чтобы найти нули функции $g(x) = x^2+4$, необходимо решить уравнение $g(x) = 0$.

$x^2+4=0$

$x^2 = -4$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$). Следовательно, данное уравнение не имеет решений в действительных числах.

Ответ: нулей нет.