Номер 1.44, страница 15 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.44. Постройте график функции

$f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x, \text{ если } x \le 0, \\ x^2 - 2x, \text{ если } x > 0. \end{cases}$

Пользуясь построенным графиком, укажите нули функции, её промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и промежутки убывания.

Для построения графика заданной кусочной функции $f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x, & \text{если } x \le 0, \\ x^2 - 2x, & \text{если } x > 0. \end{cases}$ рассмотрим каждый ее участок отдельно.

1. На промежутке $x \le 0$ функция имеет вид $y = x^2 + 2x$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх.
Найдем координаты ее вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.
Поскольку $-1 \le 0$, вершина принадлежит этому участку графика.
$y_0 = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-1, -1)$.
Найдем точки пересечения с осью Ox (нули функции): $x^2 + 2x = 0 \Rightarrow x(x+2) = 0$. Корни $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$. Оба корня принадлежат промежутку $x \le 0$.

2. На промежутке $x > 0$ функция имеет вид $y = x^2 - 2x$. Графиком также является парабола с ветвями вверх.
Найдем координаты ее вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.
Поскольку $1 > 0$, вершина принадлежит этому участку графика.
$y_0 = f(1) = 1^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1, -1)$.
Найдем точки пересечения с осью Ox: $x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(x-2) = 0$. Корни $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Промежутку $x > 0$ принадлежит только корень $x_2 = 2$.

Объединив эти две части, мы получаем итоговый график. Он состоит из части параболы $y = x^2 + 2x$ для $x \le 0$ и части параболы $y = x^2 - 2x$ для $x > 0$.

Пользуясь построенным графиком, проанализируем функцию.

нули функции

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $f(x)$ равно нулю. Это абсциссы точек пересечения графика с осью Ox. Из проведенного анализа следует, что график пересекает ось абсцисс в точках $x = -2$, $x = 0$ и $x = 2$.

Ответ: $-2; 0; 2$.

её промежутки знакопостоянства

Это промежутки, на которых функция принимает только положительные или только отрицательные значения.
Функция положительна ($f(x) > 0$), когда её график расположен выше оси Ox. Это происходит на интервалах $(-\infty; -2)$ и $(2; +\infty)$.
Функция отрицательна ($f(x) < 0$), когда её график расположен ниже оси Ox. Это происходит на интервалах $(-2; 0)$ и $(0; 2)$.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-2; 0) \cup (0; 2)$.

промежутки возрастания

Функция возрастает на тех промежутках, где большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Графически это участки, на которых кривая «поднимается» слева направо.
Это происходит на промежутках от вершины первой параболы $(-1, -1)$ до точки $(0, 0)$ и от вершины второй параболы $(1, -1)$ до $+\infty$.

Ответ: $[-1; 0]$ и $[1; +\infty)$.

промежутки убывания

Функция убывает на тех промежутках, где большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Графически это участки, на которых кривая «опускается» слева направо.
Это происходит на промежутках от $-\infty$ до вершины первой параболы $(-1, -1)$ и от точки $(0, 0)$ до вершины второй параболы $(1, -1)$.

Ответ: $(-\infty; -1]$ и $[0; 1]$.