Номер 1.51, страница 15 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.51. Решите графически уравнение:

1) $2\sqrt{x} = 3-x$;

2) $\frac{2}{x-2} = x-3.$

1)

Чтобы решить уравнение $2\sqrt{x} = 3 - x$ графически, построим в одной системе координат графики двух функций: $y = 2\sqrt{x}$ и $y = 3 - x$. Решениями уравнения будут абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков.

1. Построим график функции $y = 2\sqrt{x}$.
Это график функции квадратного корня, растянутый в 2 раза по оси $y$. Область определения функции: $x \ge 0$.
Найдем несколько точек для построения:

• при $x=0$, $y = 2\sqrt{0} = 0$. Точка (0; 0).
• при $x=1$, $y = 2\sqrt{1} = 2$. Точка (1; 2).
• при $x=4$, $y = 2\sqrt{4} = 4$. Точка (4; 4).

2. Построим график функции $y = 3 - x$.
Это линейная функция, ее график — прямая. Для построения прямой достаточно двух точек:

• при $x=0$, $y = 3 - 0 = 3$. Точка (0; 3).
• при $x=3$, $y = 3 - 3 = 0$. Точка (3; 0).

3. Построим оба графика в одной системе координат.

Графики пересекаются в одной точке, координаты которой (1; 2). Абсцисса этой точки равна 1.

Проверим подстановкой: $2\sqrt{1} = 3 - 1 \Rightarrow 2 = 2$. Верно.

Ответ: $x=1$.

2)

Чтобы решить уравнение $\frac{2}{x-2} = x-3$ графически, построим в одной системе координат графики функций: $y = \frac{2}{x-2}$ и $y = x - 3$. Решениями уравнения будут абсциссы точек пересечения этих графиков.

1. Построим график функции $y = \frac{2}{x-2}$.
Это гипербола, полученная из графика $y = \frac{2}{x}$ сдвигом на 2 единицы вправо.
Вертикальная асимптота: $x=2$.
Горизонтальная асимптота: $y=0$.
Найдем несколько точек для построения:

• при $x=0$, $y = \frac{2}{0-2} = -1$. Точка (0; -1).
• при $x=1$, $y = \frac{2}{1-2} = -2$. Точка (1; -2).
• при $x=3$, $y = \frac{2}{3-2} = 2$. Точка (3; 2).
• при $x=4$, $y = \frac{2}{4-2} = 1$. Точка (4; 1).

2. Построим график функции $y = x - 3$.
Это линейная функция, ее график — прямая. Для построения прямой достаточно двух точек:

• при $x=0$, $y = 0 - 3 = -3$. Точка (0; -3).
• при $x=3$, $y = 3 - 3 = 0$. Точка (3; 0).

3. Построим оба графика в одной системе координат.

Графики пересекаются в двух точках. Из графика видно, что координаты этих точек (1; -2) и (4; 1). Абсциссы этих точек равны 1 и 4.

Проверим подстановкой:
Для $x=1$: $\frac{2}{1-2} = 1-3 \Rightarrow -2 = -2$. Верно.
Для $x=4$: $\frac{2}{4-2} = 4-3 \Rightarrow 1 = 1$. Верно.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = 4$.