Страница 12 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.18. На рисунке 1.13 изображена часть графика функции $y = f(x)$, определённой на промежутке $[-5; 5]$. Достройте график этой функции, если она является:

1) чётной;

2) нечётной.

Рис. 1.13

а

б

Для решения этой задачи необходимо использовать определения чётной и нечётной функций, а также свойства симметрии их графиков.

Функция $y = f(x)$ называется чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. График чётной функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Функция $y = f(x)$ называется нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. График нечётной функции симметричен относительно начала координат (точки $(0, 0)$).

График а

На рисунке 'а' изображена часть графика функции на промежутке $[-5, 0]$. Необходимо достроить график на промежутке $(0, 5]$.

1) чётной;

Если функция чётная, её график симметричен относительно оси OY. Чтобы достроить график, нужно отразить имеющуюся часть относительно этой оси. Каждая точка $(x, y)$ исходного графика перейдёт в точку $(-x, y)$.

Ключевые точки:

• Точка $(-5, -2)$ перейдёт в точку $(5, -2)$.
• Точка $(0, 0)$ находится на оси симметрии и останется на месте.

Достроенная часть будет кривой, соединяющей точки $(0, 0)$ и $(5, -2)$, и будет зеркальным отражением исходной части.

Ответ: Достроенная часть графика на промежутке $[0, 5]$ является кривой, симметричной данной относительно оси OY, соединяющей точки $(0, 0)$ и $(5, -2)$.

2) нечётной.

Если функция нечётная, её график симметричен относительно начала координат. Чтобы достроить график, нужно отразить имеющуюся часть относительно точки $(0, 0)$. Каждая точка $(x, y)$ исходного графика перейдёт в точку $(-x, -y)$.

Ключевые точки:

• Точка $(-5, -2)$ перейдёт в точку $(-(-5), -(-2)) = (5, 2)$.
• Точка $(0, 0)$ является центром симметрии и останется на месте.

Достроенная часть будет кривой, соединяющей точки $(0, 0)$ и $(5, 2)$.

Ответ: Достроенная часть графика на промежутке $[0, 5]$ является кривой, симметричной данной относительно начала координат, соединяющей точки $(0, 0)$ и $(5, 2)$.

График б

На рисунке 'б' изображена часть графика функции на промежутке $[0, 5]$. Необходимо достроить график на промежутке $[-5, 0)$. Из графика видно, что $f(0) = 0$ (закрашенная точка), а $\lim_{x \to 0+} f(x) = 2$ (выколотая точка в $(0, 2)$). График на $(0, 5]$ состоит из двух отрезков: от $(0, 2)$ до $(2, 0)$ и от $(2, 0)$ до $(5, 3)$.

1) чётной;

Для чётной функции, график симметричен относительно оси OY. Отражаем данную часть графика.

• Точка $f(0)=0$ остаётся на месте.
• Отрезок, соединяющий $(2, 0)$ и $(5, 3)$, отразится в отрезок, соединяющий $(-2, 0)$ и $(-5, 3)$.
• Отрезок от выколотой точки $(0, 2)$ до $(2, 0)$ отразится в отрезок от выколотой точки $(0, 2)$ до $(-2, 0)$.
• Так как $f(-x) = f(x)$, то $\lim_{x \to 0-} f(x) = \lim_{x \to 0+} f(x) = 2$. Это значит, что с левой стороны график также будет стремиться к выколотой точке $(0, 2)$.

Ответ: Достроенная часть графика на промежутке $[-5, 0)$ состоит из двух отрезков: один соединяет точки $(-5, 3)$ и $(-2, 0)$, а другой — точки $(-2, 0)$ и $(0, 2)$. Точка $(0, 2)$ выколота. Значение функции в точке $x=0$ остаётся равным $0$.

2) нечётной.

Для нечётной функции, график симметричен относительно начала координат. Отражаем данную часть графика.

• Точка $(0, 0)$ является центром симметрии и остаётся на месте ($f(0)=0$, и $f(-0) = -f(0)$ выполняется).
• Отрезок, соединяющий $(2, 0)$ и $(5, 3)$, отразится в отрезок, соединяющий $(-2, 0)$ и $(-5, -3)$.
• Для предела в нуле используем свойство нечётности: $\lim_{x \to 0-} f(x) = -\lim_{x \to 0+} f(x) = -2$. Это означает, что слева график будет стремиться к выколотой точке $(0, -2)$.
• Следовательно, отрезок от выколотой точки $(0, 2)$ до $(2, 0)$ отразится в отрезок от выколотой точки $(0, -2)$ до $(-2, 0)$.

Ответ: Достроенная часть графика на промежутке $[-5, 0)$ состоит из двух отрезков: один соединяет точки $(-5, -3)$ и $(-2, 0)$, а другой — точки $(-2, 0)$ и $(0, -2)$. Точка $(0, -2)$ выколота. Значение функции в точке $x=0$ остаётся равным $0$.

1.19. Ломаная ABCD, где $A (0; 0)$, $B (2; -2)$, $C (3; 4)$, $D (6; 1)$, является частью графика функции $y = f(x)$, определённой на промежутке $[-6; 6]$.

Постройте график этой функции, если она является:

1) чётной;

2) нечётной.

По условию, нам дана часть графика функции $y = f(x)$ на промежутке $[0; 6]$. Эта часть представляет собой ломаную $ABCD$ с вершинами в точках $A(0; 0)$, $B(2; -2)$, $C(3; 4)$ и $D(6; 1)$. Функция определена на симметричном промежутке $[-6; 6]$. Нам нужно достроить график на промежутке $[-6; 0)$ для двух случаев.

1) чётной;

Чётная функция удовлетворяет условию $f(-x) = f(x)$ для любого $x$ из области определения. График чётной функции симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$).

Чтобы построить часть графика на промежутке $[-6; 0]$, необходимо отразить существующую часть графика (на промежутке $[0; 6]$) симметрично относительно оси $Oy$. Каждая точка $(x; y)$ на графике при таком отражении переходит в точку $(-x; y)$.

Найдем координаты вершин ломаной на промежутке $[-6; 0]$. Обозначим их $A'$, $B'$, $C'$, $D'$.

• Точка $A(0; 0)$ лежит на оси симметрии, поэтому она отображается сама на себя: $A' = A(0; 0)$.
• Точка $B(2; -2)$ отображается в точку $B'(-2; -2)$.
• Точка $C(3; 4)$ отображается в точку $C'(-3; 4)$.
• Точка $D(6; 1)$ отображается в точку $D'(-6; 1)$.

Таким образом, на промежутке $[-6; 0]$ график функции является ломаной $D'C'B'A$. Полный график функции на отрезке $[-6; 6]$ представляет собой объединение двух ломаных: исходной $ABCD$ и построенной $D'C'B'A$.

Ответ: График функции состоит из ломаной $ABCD$ с вершинами $A(0; 0)$, $B(2; -2)$, $C(3; 4)$, $D(6; 1)$ и ломаной $D'C'B'A$ с вершинами $D'(-6; 1)$, $C'(-3; 4)$, $B'(-2; -2)$, $A(0; 0)$, которая симметрична исходной относительно оси $Oy$.

2) нечётной.

Нечётная функция удовлетворяет условию $f(-x) = -f(x)$ для любого $x$ из области определения. График нечётной функции симметричен относительно начала координат, точки $O(0; 0)$.

Чтобы построить часть графика на промежутке $[-6; 0]$, необходимо отразить существующую часть графика симметрично относительно начала координат. Каждая точка $(x; y)$ на графике при таком отражении переходит в точку $(-x; -y)$.

Найдем координаты вершин ломаной на промежутке $[-6; 0]$. Обозначим их $A''$, $B''$, $C''$, $D''$.

• Точка $A(0; 0)$ является центром симметрии, поэтому она отображается сама на себя: $A'' = A(0; 0)$.
• Точка $B(2; -2)$ отображается в точку $B''(-2; -(-2)) = B''(-2; 2)$.
• Точка $C(3; 4)$ отображается в точку $C''(-3; -4)$.
• Точка $D(6; 1)$ отображается в точку $D''(-6; -1)$.

Таким образом, на промежутке $[-6; 0]$ график функции является ломаной $D''C''B''A$. Полный график функции на отрезке $[-6; 6]$ представляет собой объединение двух ломаных: исходной $ABCD$ и построенной $D''C''B''A$.

Ответ: График функции состоит из ломаной $ABCD$ с вершинами $A(0; 0)$, $B(2; -2)$, $C(3; 4)$, $D(6; 1)$ и ломаной $D''C''B''A$ с вершинами $D''(-6; -1)$, $C''(-3; -4)$, $B''(-2; 2)$, $A(0; 0)$, которая симметрична исходной относительно начала координат.

1.20. О функции $f$, определённой на множестве $\mathbf{R}$, известно, что $f(x) = x^2 - 4x$ при $x \ge 0$. Постройте график этой функции, если она является:

По условию, функция $f$ определена на множестве всех действительных чисел $\mathbb{R}$. На промежутке $x \ge 0$ функция задана формулой $f(x) = x^2 - 4x$.

Сначала проанализируем и построим график этой функции для $x \ge 0$. Это часть параболы $y = x^2 - 4x$, ветви которой направлены вверх.

1. Найдем координаты вершины параболы:
$x_0 = - \frac{b}{2a} = - \frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.
Поскольку $2 \ge 0$, вершина параболы принадлежит рассматриваемому участку графика.
$y_0 = f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.
Координаты вершины: $(2; -4)$.

2. Найдем точки пересечения с осями координат на промежутке $x \ge 0$:
С осью Oy (при $x=0$): $f(0) = 0^2 - 4 \cdot 0 = 0$. Точка $(0; 0)$.
С осью Ox (при $f(x)=0$): $x^2 - 4x = 0 \Rightarrow x(x-4) = 0$.
Корни $x=0$ и $x=4$. Обе точки принадлежат промежутку $x \ge 0$. Точки $(0; 0)$ и $(4; 0)$.

Итак, для $x \ge 0$ мы имеем дугу параболы с вершиной в точке $(2; -4)$, которая проходит через точки $(0; 0)$ и $(4; 0)$.

1) чётной

Чётная функция удовлетворяет условию $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения. График чётной функции симметричен относительно оси ординат (оси Oy). Чтобы получить график функции $f$ для $x < 0$, нужно отразить построенную часть графика ($x \ge 0$) симметрично относительно оси Oy.

Найдем аналитическое выражение для функции при $x < 0$. Пусть $x < 0$. Тогда $-x > 0$. Используя определение чётности и заданную формулу, получаем: $f(x) = f(-x) = (-x)^2 - 4(-x) = x^2 + 4x$.

Таким образом, для чётной функции $f(x)$ имеем: $f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x, & \text{если } x \ge 0 \\ x^2 + 4x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$ что эквивалентно $f(x) = x^2 - 4|x|$.

График для $x < 0$ — это дуга параболы $y = x^2 + 4x$. Ее вершина находится в точке $(-2; -4)$, а с осью Ox она пересекается в точке $(-4; 0)$.
Итоговый график состоит из двух дуг парабол, симметричных относительно оси Oy.

Ответ: График функции представляет собой объединение дуг парабол $y = x^2 - 4x$ для $x \ge 0$ и $y = x^2 + 4x$ для $x < 0$. Он симметричен относительно оси Oy, имеет вершины в точках $(2; -4)$ и $(-2; -4)$ и пересекает ось Ox в точках $(-4; 0)$, $(0; 0)$ и $(4; 0)$.

2) нечётной

Нечётная функция удовлетворяет условию $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения. График нечётной функции симметричен относительно начала координат (точки $(0; 0)$). Чтобы получить график функции $f$ для $x < 0$, нужно отразить построенную часть графика ($x \ge 0$) симметрично относительно начала координат.

Найдем аналитическое выражение для функции при $x < 0$. Пусть $x < 0$. Тогда $-x > 0$. Используя определение нечётности и заданную формулу, получаем: $f(x) = -f(-x) = - ((-x)^2 - 4(-x)) = -(x^2 + 4x) = -x^2 - 4x$.

Таким образом, для нечётной функции $f(x)$ имеем: $f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x^2 - 4x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$ что эквивалентно $f(x) = x|x| - 4x$.

График для $x < 0$ — это дуга параболы $y = -x^2 - 4x$. Это парабола с ветвями, направленными вниз. Ее вершина находится в точке $(-2; 4)$ (симметрично точке $(2; -4)$ относительно начала координат), а с осью Ox она пересекается в точке $(-4; 0)$ (симметрично точке $(4; 0)$).
Итоговый график состоит из двух дуг парабол, симметричных относительно начала координат.

Ответ: График функции представляет собой объединение дуг парабол: $y = x^2 - 4x$ для $x \ge 0$ (ветви вверх, вершина в $(2; -4)$) и $y = -x^2 - 4x$ для $x < 0$ (ветви вниз, вершина в $(-2; 4)$). Он симметричен относительно начала координат и пересекает ось Ox в точках $(-4; 0)$, $(0; 0)$ и $(4; 0)$.

1.21. О функции $f$, определённой на множестве $\mathbb{R}$, известно, что $f(x) = -0,5x^2$ при $0 \le x \le 2$ и $f(x) = -\frac{4}{x}$ при $x > 2$. Постройте график этой функции, если она является:

1) чётной;

2) нечётной.

1.22 При каких значениях c наибольшее значение¹ функции $y = -0,6x^2 + 18x + c$ равно 2?

1.22.

Данная функция $y = -0,6x^2 + 18x + c$ является квадратичной. Графиком такой функции является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($a = -0,6 < 0$), ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция имеет наибольшее значение в своей вершине.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ находятся по формулам. Абсцисса (координата $x$) вершины вычисляется по формуле:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

Для данной функции коэффициенты равны $a = -0,6$ и $b = 18$. Найдем $x_0$:

$x_0 = -\frac{18}{2 \cdot (-0,6)} = -\frac{18}{-1,2} = \frac{180}{12} = 15$

Наибольшее значение функции — это ордината (координата $y$) ее вершины. По условию задачи, это значение равно 2. Таким образом, $y_0 = 2$.

Теперь мы знаем, что вершина параболы находится в точке с координатами $(15; 2)$. Подставим эти значения $x=15$ и $y=2$ в исходное уравнение функции, чтобы найти неизвестный параметр $c$:

$y = -0,6x^2 + 18x + c$

$2 = -0,6 \cdot (15)^2 + 18 \cdot 15 + c$

Выполним вычисления:

$2 = -0,6 \cdot 225 + 270 + c$

$2 = -135 + 270 + c$

$2 = 135 + c$

Отсюда находим $c$:

$c = 2 - 135$

$c = -133$

Ответ: $c = -133$.

1.23. При каких значениях $c$ наименьшее значение функции $y=2x^2-12x+c$ равно $-3$?

Данная функция $y = 2x^2 - 12x + c$ является квадратичной. Графиком этой функции является парабола. Поскольку коэффициент при $x^2$ равен 2 (что больше нуля), ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет наименьшее значение в своей вершине.

Наименьшее значение квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ достигается в точке вершины с абсциссой $x_0$, которая вычисляется по формуле:
$x_0 = -\frac{b}{2a}$

В нашем случае коэффициенты равны $a=2$ и $b=-12$. Подставим их в формулу, чтобы найти абсциссу вершины:
$x_0 = -\frac{-12}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$

Теперь найдем ординату вершины $y_0$, которая и есть наименьшее значение функции. Для этого подставим найденное значение $x_0 = 3$ в исходное уравнение функции:
$y_0 = 2(3)^2 - 12(3) + c$
$y_0 = 2 \cdot 9 - 36 + c$
$y_0 = 18 - 36 + c$
$y_0 = -18 + c$

По условию задачи, наименьшее значение функции равно -3. Следовательно, мы можем приравнять полученное выражение для $y_0$ к этому значению:
$-18 + c = -3$

Решим полученное линейное уравнение относительно $c$:
$c = -3 + 18$
$c = 15$

Ответ: 15.

1.24. Сумма двух чисел равна 8. Найдите:

1) какое наибольшее значение может принимать произведение этих чисел;

2) какое наименьшее значение может принимать сумма квадратов этих чисел.

Пусть два искомых числа будут $x$ и $y$. Согласно условию задачи, их сумма равна 8:

$x + y = 8$

Из этого уравнения мы можем выразить одно число через другое, например, $y$ через $x$:

$y = 8 - x$

Теперь мы можем использовать это выражение для решения обеих частей задачи.

1) какое наибольшее значение может принимать произведение этих чисел;

Обозначим произведение этих чисел как $P$. Нам нужно найти максимальное значение $P = xy$. Подставим выражение $y = 8 - x$ в формулу для произведения:

$P(x) = x(8 - x) = 8x - x^2$

Полученное выражение $P(x) = -x^2 + 8x$ является квадратичной функцией. Её график — это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-1$). Следовательно, эта функция имеет максимальное значение в своей вершине.

Абсцисса вершины параболы $ax^2 + bx + c$ находится по формуле $x_0 = -b/(2a)$. Для нашей функции $a = -1$ и $b = 8$.

$x_0 = \frac{-8}{2 \cdot (-1)} = \frac{-8}{-2} = 4$

Таким образом, произведение достигает своего максимума, когда $x = 4$. Найдем соответствующее значение $y$:

$y = 8 - 4 = 4$

Наибольшее значение произведения равно:

$P_{max} = 4 \cdot 4 = 16$

Ответ: 16

2) какое наименьшее значение может принимать сумма квадратов этих чисел.

Обозначим сумму квадратов этих чисел как $S$. Нам нужно найти минимальное значение $S = x^2 + y^2$. Снова воспользуемся подстановкой $y = 8 - x$:

$S(x) = x^2 + (8 - x)^2$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$S(x) = x^2 + (64 - 16x + x^2) = 2x^2 - 16x + 64$

Это также квадратичная функция. Её график — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($2$). Следовательно, функция имеет минимальное значение в своей вершине.

Найдем абсциссу вершины. Для функции $S(x)$ коэффициенты равны $a = 2$ и $b = -16$.

$x_0 = \frac{-(-16)}{2 \cdot 2} = \frac{16}{4} = 4$

Следовательно, сумма квадратов достигает своего минимума при $x = 4$. Значение $y$ также будет равно 4.

Наименьшее значение суммы квадратов равно:

$S_{min} = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32$

Ответ: 32