Номер 1.14, страница 11 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.14. Докажите, что является нечётной функция:

1) $f(x) = x - \frac{1}{x}$;

2) $f(x) = (x^3 + x)(x^4 - x^2)$;

3) $g(x) = \frac{|x|}{x}$;

4) $g(x) = \frac{|4x - 1| - |4x + 1|}{x^4 - 1}$.

Для доказательства того, что функция является нечётной, необходимо проверить выполнение двух условий:
1. Область определения функции $D(f)$ должна быть симметричной относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Для любого $x$ из области определения должно выполняться равенство $f(-x) = -f(x)$.

1)

Рассмотрим функцию $f(x) = x - \frac{1}{x}$.
1. Область определения функции (ОДЗ): $x \neq 0$, то есть $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Данная область определения симметрична относительно нуля.
2. Проверим условие нечётности $f(-x) = -f(x)$.
Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = (-x) - \frac{1}{-x} = -x + \frac{1}{x}$.
Теперь найдем $-f(x)$:
$-f(x) = -(x - \frac{1}{x}) = -x + \frac{1}{x}$.
Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано, что функция является нечётной.

2)

Рассмотрим функцию $f(x) = (x^3 + x)(x^4 - x^2)$.
1. Упростим выражение для функции, вынеся общие множители за скобки:
$f(x) = x(x^2 + 1) \cdot x^2(x^2 - 1) = x^3 (x^2 + 1)(x^2 - 1)$.
Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:
$f(x) = x^3 ( (x^2)^2 - 1^2 ) = x^3(x^4 - 1) = x^7 - x^3$.
Область определения полученной функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как это многочлен. Эта область симметрична относительно нуля.
2. Проверим условие нечётности $f(-x) = -f(x)$ для упрощенного вида функции $f(x) = x^7 - x^3$.
Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = (-x)^7 - (-x)^3 = -x^7 - (-x^3) = -x^7 + x^3$.
Теперь найдем $-f(x)$:
$-f(x) = -(x^7 - x^3) = -x^7 + x^3$.
Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано, что функция является нечётной.

3)

Рассмотрим функцию $g(x) = \frac{|x|}{x}$.
1. Область определения функции: знаменатель не может быть равен нулю, т.е. $x \neq 0$. $D(g) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.
2. Проверим условие нечётности $g(-x) = -g(x)$.
Найдем $g(-x)$:
$g(-x) = \frac{|-x|}{-x}$.
Используя свойство модуля $|-a| = |a|$, получаем:
$g(-x) = \frac{|x|}{-x} = -\frac{|x|}{x}$.
Теперь найдем $-g(x)$:
$-g(x) = - \left( \frac{|x|}{x} \right) = -\frac{|x|}{x}$.
Поскольку $g(-x) = -g(x)$, функция является нечётной, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано, что функция является нечётной.

4)

Рассмотрим функцию $g(x) = \frac{|4x - 1| - |4x + 1|}{x^4 - 1}$.
1. Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю.
$x^4 - 1 \neq 0 \implies (x^2 - 1)(x^2 + 1) \neq 0 \implies (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) \neq 0$.
Так как $x^2 + 1 > 0$ для любого действительного $x$, то $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
Область определения $D(g) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$ является симметричной относительно нуля.
2. Проверим условие нечётности $g(-x) = -g(x)$.
Найдем $g(-x)$:
$g(-x) = \frac{|4(-x) - 1| - |4(-x) + 1|}{(-x)^4 - 1} = \frac{|-4x - 1| - |-4x + 1|}{x^4 - 1}$.
Используя свойство модуля $|-a| = |a|$, преобразуем выражения в числителе:
$|-4x - 1| = |-(4x + 1)| = |4x + 1|$.
$|-4x + 1| = |-(4x - 1)| = |4x - 1|$.
Подставим полученные выражения обратно в $g(-x)$:
$g(-x) = \frac{|4x + 1| - |4x - 1|}{x^4 - 1}$.
Вынесем знак минус из числителя:
$g(-x) = \frac{-(|4x - 1| - |4x + 1|)}{x^4 - 1} = - \frac{|4x - 1| - |4x + 1|}{x^4 - 1}$.
Сравнивая результат с исходной функцией $g(x)$, видим, что $g(-x) = -g(x)$. Следовательно, функция является нечётной, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано, что функция является нечётной.