Номер 1.7, страница 10 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.7. Является ли чётной функция, заданная формулой $y = x^2$, если её область определения — множество:

1) $[-9; 9];$

2) $(-\infty; -3) \cup (3; +\infty);$

3) $[-6; 6);$

4) $(-\infty; 4]$?

Функция $y = f(x)$ называется чётной, если для неё одновременно выполняются два условия:
1. Её область определения $D(f)$ симметрична относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Рассмотрим заданную функцию $y = x^2$. Проверим второе условие:
$f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$.
Второе условие выполняется для всех $x$, при которых функция определена. Таким образом, вопрос о чётности функции в каждом случае сводится к проверке первого условия — симметричности её области определения.

1) $[-9; 9]$

Область определения $D(f) = [-9; 9]$. Этот отрезок является симметричным множеством относительно нуля, так как для любого числа $x$ из этого отрезка ($-9 \le x \le 9$), противоположное ему число $-x$ также принадлежит этому отрезку (поскольку $-9 \le -x \le 9$).
Оба условия для чётной функции выполняются.
Ответ: Да, является.

2) $(-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$

Область определения $D(f) = (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$. Это множество симметрично относительно нуля. Если $x$ принадлежит этому множеству, то либо $x < -3$, либо $x > 3$.

• Если $x < -3$, то $-x > 3$, значит, $-x$ также принадлежит множеству.
• Если $x > 3$, то $-x < -3$, значит, $-x$ также принадлежит множеству.

Условие симметричности области определения выполняется.
Оба условия для чётной функции выполняются.
Ответ: Да, является.

3) $[-6; 6)$

Область определения $D(f) = [-6; 6)$. Это множество не является симметричным относительно нуля. Например, точка $x = -6$ принадлежит этой области определения, однако противоположная ей точка $-x = 6$ не принадлежит, так как правая граница интервала не включена в множество.
Так как не выполнено первое условие (симметричность области определения), функция не является чётной.
Ответ: Нет, не является.

4) $(-\infty; 4]$

Область определения $D(f) = (-\infty; 4]$. Это множество не является симметричным относительно нуля. Например, точка $x = -5$ принадлежит этой области определения, но противоположная ей точка $-x = 5$ не принадлежит, так как $5 > 4$.
Так как не выполнено первое условие (симметричность области определения), функция не является чётной.
Ответ: Нет, не является.