Номер 1.12, страница 11 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.12. Докажите, что является чётной функция:

1) $f(x) = x^6;$

2) $f(x) = -3x^2 + |x| - 1;$

3) $f(x) = \sqrt{5 - x^2};$

4) $f(x) = \frac{|5x - 2| + |5x + 2|}{x^2 - 1}.$

Функция $f(x)$ называется чётной, если для любого $x$ из её области определения $D(f)$ выполняются два условия:
1. Область определения симметрична относительно нуля (то есть если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.
Проверим каждую из заданных функций на соответствие этим условиям.

1) $f(x) = x^6$
1. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.
2. Найдём значение функции для аргумента $-x$: $f(-x) = (-x)^6 = x^6$.
Так как $f(-x) = f(x)$, второе условие также выполняется. Следовательно, функция является чётной.
Ответ: доказано, что функция является чётной.

2) $f(x) = -3x^2 + |x| - 1$
1. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля.
2. Найдём $f(-x)$: $f(-x) = -3(-x)^2 + |-x| - 1$. Используя свойства $(-x)^2=x^2$ и $|-x|=|x|$, получаем: $f(-x) = -3x^2 + |x| - 1$.
Так как $f(-x) = f(x)$, оба условия выполнены. Следовательно, функция является чётной.
Ответ: доказано, что функция является чётной.

3) $f(x) = \sqrt{5 - x^2}$
1. Найдём область определения. Подкоренное выражение должно быть неотрицательно: $5 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 5 \implies -\sqrt{5} \le x \le \sqrt{5}$. Область определения $D(f) = [-\sqrt{5}; \sqrt{5}]$ симметрична относительно нуля.
2. Найдём $f(-x)$: $f(-x) = \sqrt{5 - (-x)^2} = \sqrt{5 - x^2}$.
Так как $f(-x) = f(x)$, оба условия выполнены. Следовательно, функция является чётной.
Ответ: доказано, что функция является чётной.

4) $f(x) = \frac{|5x - 2| + |5x + 2|}{x^2 - 1}$
1. Найдём область определения. Знаменатель не должен равняться нулю: $x^2 - 1 \neq 0 \implies x^2 \neq 1 \implies x \neq \pm 1$. Область определения $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$ симметрична относительно нуля.
2. Найдём $f(-x)$: $f(-x) = \frac{|5(-x) - 2| + |5(-x) + 2|}{(-x)^2 - 1} = \frac{|-5x - 2| + |-5x + 2|}{x^2 - 1}$.
Преобразуем числитель, используя свойство модуля $|-a| = |a|$ и коммутативность сложения: $|-5x - 2| + |-5x + 2| = |-(5x+2)| + |-(5x-2)| = |5x+2| + |5x-2| = |5x-2| + |5x+2|$.
Таким образом, $f(-x) = \frac{|5x - 2| + |5x + 2|}{x^2 - 1} = f(x)$. Оба условия выполнены. Следовательно, функция является чётной.
Ответ: доказано, что функция является чётной.