Страница 21 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

2.13. Выразите:

1) из равенства $y = \frac{x + 7}{3}$ переменную $x$ через переменную $y;

2) из равенства $y = \frac{\sqrt{x + 2}}{5} - 1$ переменную $x$ через переменную $y.

1) Чтобы выразить переменную $x$ через переменную $y$ из равенства $y = \frac{x + 7}{3}$, необходимо выполнить следующие алгебраические преобразования, чтобы изолировать $x$ в одной части уравнения.

Исходное равенство:

$y = \frac{x + 7}{3}$

Шаг 1: Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателя.

$3 \cdot y = 3 \cdot \frac{x + 7}{3}$

$3y = x + 7$

Шаг 2: Вычтем 7 из обеих частей уравнения, чтобы оставить $x$ в правой части.

$3y - 7 = x$

Поменяв части уравнения местами, получаем итоговое выражение для $x$ через $y$.

Ответ: $x = 3y - 7$

2) Чтобы выразить переменную $x$ через переменную $y$ из равенства $y = \frac{\sqrt{x + 2}}{5} - 1$, выполним последовательность действий для изоляции $x$.

Исходное равенство:

$y = \frac{\sqrt{x + 2}}{5} - 1$

Шаг 1: Перенесем -1 в левую часть уравнения, прибавив 1 к обеим частям.

$y + 1 = \frac{\sqrt{x + 2}}{5}$

Шаг 2: Умножим обе части уравнения на 5.

$5(y + 1) = \sqrt{x + 2}$

Шаг 3: Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака квадратного корня. При этом следует учесть, что левая часть уравнения должна быть неотрицательной (так как она равна значению арифметического квадратного корня), то есть $5(y + 1) \ge 0$, что означает $y \ge -1$.

$(5(y + 1))^2 = (\sqrt{x + 2})^2$

$25(y + 1)^2 = x + 2$

Шаг 4: Вычтем 2 из обеих частей уравнения, чтобы окончательно выразить $x$.

$25(y + 1)^2 - 2 = x$

Запишем результат в стандартном виде.

Ответ: $x = 25(y + 1)^2 - 2$

2.14. Графики каких функций произвольная горизонтальная прямая пересекает не более чем в одной точке:

1) $y = 2x - 1;$

2) $y = 2;$

3) $y = -x^2;$

4) $y = \frac{6}{x-1}?$

Вопрос заключается в том, чтобы определить, для каких из предложенных функций любая горизонтальная прямая $y=c$ пересекает их график не более чем в одной точке. Это свойство также известно как инъективность функции. Проанализируем каждую функцию по отдельности.

1) $y = 2x - 1$

Эта функция является линейной, ее график — прямая линия. Произвольная горизонтальная прямая задается уравнением $y = c$, где $c$ — некоторая константа. Чтобы найти точки пересечения, приравняем выражения для $y$:

$2x - 1 = c$

Решим это уравнение относительно $x$:

$2x = c + 1$

$x = \frac{c + 1}{2}$

Для любого значения константы $c$ это уравнение имеет ровно одно решение. Это означает, что любая горизонтальная прямая пересекает график функции $y = 2x - 1$ ровно в одной точке. Следовательно, условие "не более чем в одной точке" выполняется.

Ответ: график этой функции удовлетворяет условию.

2) $y = 2$

Эта функция является постоянной, ее график — горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0, 2)$ и параллельная оси абсцисс. Рассмотрим произвольную горизонтальную прямую $y = c$.

Если мы выберем $c = 2$, то прямая $y = 2$ совпадает с графиком функции $y = 2$. В этом случае они имеют бесконечно много точек пересечения.

Если выбрать $c \neq 2$, то прямая $y = c$ будет параллельна графику функции и не будет иметь с ним точек пересечения (0 точек).

Поскольку существует горизонтальная прямая ($y=2$), которая пересекает график более чем в одной точке, данная функция не удовлетворяет условию задачи, которое должно выполняться для произвольной горизонтальной прямой.

Ответ: график этой функции не удовлетворяет условию.

3) $y = -x^2$

Это квадратичная функция, ее график — парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке $(0, 0)$. Проверим, сколько точек пересечения она может иметь с горизонтальной прямой $y = c$. Приравняем $y = c$ и $y = -x^2$, что дает уравнение $-x^2 = c$, или $x^2 = -c$.

Рассмотрим различные значения $c$. Если $c > 0$, то $-c < 0$, и уравнение $x^2 = -c$ не имеет действительных корней (0 точек пересечения). Если $c = 0$, то уравнение $x^2 = 0$ имеет один корень $x = 0$ (1 точка пересечения). Если $c < 0$, то $-c > 0$, и уравнение $x^2 = -c$ имеет два различных корня: $x = \sqrt{-c}$ и $x = -\sqrt{-c}$ (2 точки пересечения).

Так как существуют горизонтальные прямые (например, $y = -1$), которые пересекают график функции в двух точках, условие "не более чем в одной точке" не выполняется.

Ответ: график этой функции не удовлетворяет условию.

4) $y = \frac{6}{x - 1}$

Это дробно-рациональная функция, ее график — гипербола. Область определения функции: $x \neq 1$. Найдем количество точек пересечения с горизонтальной прямой $y = c$, решив уравнение $\frac{6}{x - 1} = c$.

Рассмотрим два случая. Первый случай: $c = 0$. Уравнение $\frac{6}{x-1} = 0$ не имеет решений, так как числитель дроби равен 6 (не равен нулю). Это означает, что горизонтальная прямая $y = 0$ (ось абсцисс) является горизонтальной асимптотой и не пересекает график функции (0 точек пересечения).

Второй случай: $c \neq 0$. Тогда можно выразить $x$: $c(x - 1) = 6$, откуда $x - 1 = \frac{6}{c}$, и $x = 1 + \frac{6}{c}$. Для любого ненулевого значения $c$ это уравнение имеет ровно одно решение для $x$. Значит, любая горизонтальная прямая $y=c$ (где $c \neq 0$) пересекает график ровно в одной точке.

Таким образом, любая горизонтальная прямая пересекает график этой функции либо в одной точке (если $c \neq 0$), либо не пересекает вовсе (если $c=0$). В обоих случаях количество точек пересечения не более одной. Следовательно, эта функция удовлетворяет условию задачи.

Ответ: график этой функции удовлетворяет условию.

Итого, функции, графики которых произвольная горизонтальная прямая пересекает не более чем в одной точке, — это функции под номерами 1 и 4.