Страница 26 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Какую функцию называют обратимой?

Функцию называют обратимой, если она устанавливает взаимно-однозначное соответствие между элементами своей области определения и элементами области значений. Проще говоря, обратимая функция каждое своё значение принимает только один раз. Если разным значениям аргумента всегда соответствуют разные значения функции, то такая функция является обратимой.

Формальное определение: функция $y = f(x)$, определённая на множестве $X$ с областью значений $Y$, называется обратимой, если для любых двух различных аргументов $x_1 \in X$ и $x_2 \in X$ ($x_1 \neq x_2$) их значения также различны: $f(x_1) \neq f(x_2)$. Такое свойство функции называется инъективностью.

Для каждой обратимой функции $f$ существует обратная функция, которую обозначают как $f^{-1}$. Эта функция сопоставляет каждому значению $y$ из области значений функции $f$ то единственное значение $x$, при котором $f(x) = y$. Таким образом, если $y = f(x)$, то $x = f^{-1}(y)$.

Ключевые свойства и критерии:

• Монотонность: Достаточным условием обратимости функции является её строгая монотонность. Если функция на всей своей области определения является строго возрастающей или строго убывающей, то она обратима.
• Графический критерий (тест горизонтальной линии): Функция обратима тогда и только тогда, когда любая горизонтальная прямая $y = c$ пересекает её график не более чем в одной точке.
• Симметрия графиков: График обратной функции $y = f^{-1}(x)$ симметричен графику исходной функции $y = f(x)$ относительно прямой $y = x$.

Пример 1: Обратимая функция

Рассмотрим функцию $f(x) = 2x + 1$. Эта функция является строго возрастающей на всей числовой прямой, значит, она обратима. Чтобы найти для неё обратную, нужно из уравнения $y = 2x + 1$ выразить $x$:

$y - 1 = 2x$

$x = \frac{y-1}{2}$

Заменив $y$ на $x$ для стандартного обозначения, получаем обратную функцию: $f^{-1}(x) = \frac{x-1}{2}$.

Пример 2: Необратимая функция

Функция $f(x) = x^2$ не является обратимой на множестве всех действительных чисел $\mathbb{R}$, так как, например, $f(-3) = 9$ и $f(3) = 9$. Одному значению функции $y=9$ соответствуют два разных аргумента: $x=-3$ и $x=3$. Графически это означает, что горизонтальная прямая $y=9$ пересекает параболу $y=x^2$ в двух точках. Однако, если ограничить область определения, например, промежутком $[0; +\infty)$, то на этом промежутке функция $f(x) = x^2$ будет строго возрастать и станет обратимой. Её обратной функцией будет $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$.

Ответ: Обратимой называют функцию, которая каждое своё значение принимает ровно в одной точке её области определения. То есть для любых двух различных аргументов $x_1$ и $x_2$ значения функции $f(x_1)$ и $f(x_2)$ также будут различны. Основным признаком обратимости является строгая монотонность функции (строгое возрастание или убывание).

2. Сформулируйте теорему об обратимости возрастающей (убывающей) функции.

2. Теорема об обратимости строго монотонной функции.

Формулировка: Если функция $y = f(x)$ строго возрастает (или строго убывает) на некотором промежутке $X$, то существует обратная ей функция $x = g(y)$, определенная на множестве значений $Y = f(X)$. При этом обратная функция $g(y)$ также является строго возрастающей (соответственно, строго убывающей).

Развернутое объяснение и доказательство:

Для существования обратной функции необходимо и достаточно, чтобы исходная функция $f(x)$ была инъективной (или взаимно-однозначной). Это означает, что разным значениям аргумента $x$ должны соответствовать разные значения функции $f(x)$. То есть, для любых $x_1, x_2$ из области определения, если $x_1 \neq x_2$, то $f(x_1) \neq f(x_2)$. Теорема утверждает, что строгая монотонность является достаточным условием для обратимости.

Доказательство обратимости (инъективности):
Пусть функция $f(x)$ строго возрастает на промежутке $X$. Это значит, что для любых $x_1, x_2 \in X$ из $x_1 < x_2$ следует $f(x_1) < f(x_2)$.
Возьмем два любых различных значения $x_1 \neq x_2$ из $X$. Пусть, для определенности, $x_1 < x_2$. Тогда по определению строго возрастающей функции $f(x_1) < f(x_2)$, и, следовательно, $f(x_1) \neq f(x_2)$.
Аналогично, если функция $f(x)$ строго убывает, то из $x_1 < x_2$ следует $f(x_1) > f(x_2)$, что также означает $f(x_1) \neq f(x_2)$.
Таким образом, любая строго монотонная функция инъективна, а значит, и обратима.

Доказательство монотонности обратной функции:
Пусть $f(x)$ — строго возрастающая функция, а $g(y)$ — ее обратная функция. Возьмем два любых значения $y_1, y_2$ из области определения $g(y)$ так, что $y_1 < y_2$.
Этим значениям соответствуют $x_1 = g(y_1)$ и $x_2 = g(y_2)$, причем $y_1 = f(x_1)$ и $y_2 = f(x_2)$.
Докажем, что $x_1 < x_2$. Предположим противное: $x_1 \ge x_2$.
1. Если $x_1 = x_2$, то $f(x_1) = f(x_2)$, что означает $y_1 = y_2$. Это противоречит нашему условию $y_1 < y_2$.
2. Если $x_1 > x_2$, то, поскольку $f(x)$ строго возрастает, $f(x_1) > f(x_2)$, что означает $y_1 > y_2$. Это также противоречит условию $y_1 < y_2$.
Оба случая невозможны. Следовательно, наше предположение неверно, и должно выполняться $x_1 < x_2$. Это означает, что функция $g(y)$ является строго возрастающей.
Аналогичное рассуждение для строго убывающей функции $f(x)$ показывает, что ее обратная функция $g(y)$ также будет строго убывающей.

Ответ: Если функция строго возрастает (или убывает) на некотором промежутке, то она имеет на этом промежутке обратную функцию, которая также строго возрастает (соответственно, убывает).

3. Какие две функции называют взаимно обратными?

3. Две функции $y = f(x)$ и $y = g(x)$ называют взаимно обратными, если действие одной функции отменяет действие другой. Более строго, это означает, что если функция $f$ сопоставляет значению $x$ значение $y$, то функция $g$ сопоставляет значению $y$ обратно значение $x$.

Для того чтобы функции $f(x)$ и $g(x)$ были взаимно обратными, должны выполняться следующие условия:

1. Область определения функции $f$ должна совпадать с множеством значений функции $g$, и наоборот, область определения $g$ должна совпадать с множеством значений $f$. Математически это записывается так: $D(f) = E(g)$ и $D(g) = E(f)$.

2. Для любого $x$ из области определения функции $f$ должно выполняться тождество: $g(f(x)) = x$.

3. Для любого $x$ из области определения функции $g$ должно выполняться тождество: $f(g(x)) = x$.

Важным свойством является то, что обратная функция существует только для обратимых (или инъективных) функций, то есть таких функций, у которых каждому значению из области значений соответствует ровно одно значение из области определения. Все строго монотонные функции (строго возрастающие или строго убывающие) являются обратимыми.

Графики взаимно обратных функций симметричны друг другу относительно прямой $y = x$.

Пример:
Функция $y = x^3$ и функция $y = \sqrt[3]{x}$ являются взаимно обратными.Показательная функция $y = a^x$ (при $a > 0, a \ne 1$) и логарифмическая функция $y = \log_a x$ также являются взаимно обратными.

Ответ: Две функции $f$ и $g$ называют взаимно обратными, если область определения $f$ совпадает с областью значений $g$, область значений $f$ совпадает с областью определения $g$, и для всех допустимых значений $x$ выполняются равенства $g(f(x)) = x$ и $f(g(x)) = x$.

4. Как расположены графики взаимно обратных функций?

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой, заданной уравнением $y=x$. Эта прямая является биссектрисой первого и третьего координатных углов.

Рассмотрим это свойство подробнее. Пусть у нас есть обратимая функция $y = f(x)$ и обратная к ней функция $y = g(x)$.

По определению, если точка с координатами $(a; b)$ принадлежит графику функции $f$, то это означает, что $b = f(a)$.

Для обратной функции $g$ будет справедливо равенство $a = g(b)$. Это означает, что точка с координатами $(b; a)$ принадлежит графику функции $g$.

Геометрически точки $(a; b)$ и $(b; a)$ являются симметричными относительно прямой $y=x$. Так как это верно для любой точки графика функции $f(x)$, то весь график обратной функции $g(x)$ является зеркальным отражением графика функции $f(x)$ относительно прямой $y=x$.

Пример:

Рассмотрим показательную функцию $y=e^x$ и натуральный логарифм $y=\ln(x)$. Эти функции являются взаимно обратными.

• Возьмем точку на графике $y=e^x$, например, точку $(1; e)$. Для нее $x=1$, $y=e$.

• Соответствующая ей точка на графике обратной функции $y=\ln(x)$ будет иметь координаты $(e; 1)$, так как $\ln(e) = 1$.

• Возьмем другую точку на графике $y=e^x$, например, $(0; 1)$, так как $e^0=1$.

• Соответствующая ей точка на графике $y=\ln(x)$ будет иметь координаты $(1; 0)$, так как $\ln(1)=0$.

Если построить графики этих двух функций, можно наглядно увидеть их симметрию относительно прямой $y=x$.

Ответ: Графики взаимно обратных функций расположены симметрично относительно прямой $y=x$.

5. Какой является функция, обратная к возрастающей функции? К убывающей функции?

К возрастающей функции

Пусть функция $y = f(x)$ является строго возрастающей на своей области определения. Это означает, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_1 < x_2$, то выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$. Строго монотонная функция (как возрастающая, так и убывающая) является взаимно-однозначной (инъективной), а значит, для нее существует обратная функция. Обозначим обратную функцию как $x = g(y)$.

Цель — определить характер монотонности функции $g(y)$. Для этого возьмем две произвольные точки $y_1$ и $y_2$ из области определения $g(y)$ (которая является областью значений $f(x)$) и предположим, что $y_1 < y_2$.

По определению обратной функции, существуют такие значения $x_1$ и $x_2$ из области определения $f(x)$, что $y_1 = f(x_1)$ и $y_2 = f(x_2)$. При этом также верно, что $x_1 = g(y_1)$ и $x_2 = g(y_2)$.

Исходное неравенство $y_1 < y_2$ можно переписать в виде $f(x_1) < f(x_2)$. Поскольку по условию функция $f(x)$ является строго возрастающей, неравенство $f(x_1) < f(x_2)$ может выполняться только в том случае, если $x_1 < x_2$. Докажем это от противного: если бы мы предположили, что $x_1 \ge x_2$, то из-за того, что $f(x)$ — возрастающая функция, следовало бы, что $f(x_1) \ge f(x_2)$. Это противоречит нашему условию $f(x_1) < f(x_2)$. Следовательно, наше предположение неверно, и должно быть $x_1 < x_2$.

Теперь, подставив в неравенство $x_1 < x_2$ выражения для $x_1$ и $x_2$ через обратную функцию, мы получаем: $g(y_1) < g(y_2)$.

Таким образом, мы показали, что для любых $y_1, y_2$ из области определения обратной функции из неравенства $y_1 < y_2$ следует неравенство $g(y_1) < g(y_2)$. Это по определению означает, что обратная функция $g(y)$ также является возрастающей.

Ответ: функция, обратная к возрастающей функции, также является возрастающей.

К убывающей функции

Пусть функция $y = f(x)$ является строго убывающей на своей области определения. Это означает, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_1 < x_2$, то выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$. Такая функция также имеет обратную, которую обозначим $x = g(y)$.

Для исследования монотонности $g(y)$ снова возьмем две произвольные точки $y_1$ и $y_2$ из ее области определения, такие что $y_1 < y_2$. Им соответствуют значения $x_1 = g(y_1)$ и $x_2 = g(y_2)$, для которых $y_1 = f(x_1)$ и $y_2 = f(x_2)$.

Неравенство $y_1 < y_2$ эквивалентно неравенству $f(x_1) < f(x_2)$. Поскольку по условию функция $f(x)$ является строго убывающей, неравенство $f(x_1) < f(x_2)$ может выполняться только в том случае, если $x_1 > x_2$. Докажем от противного: если бы мы предположили, что $x_1 \le x_2$, то из-за того, что $f(x)$ — убывающая функция, следовало бы, что $f(x_1) \ge f(x_2)$. Это противоречит нашему условию $f(x_1) < f(x_2)$. Следовательно, наше предположение неверно, и должно быть $x_1 > x_2$.

Подставив в неравенство $x_1 > x_2$ выражения для $x_1$ и $x_2$ через обратную функцию, получаем: $g(y_1) > g(y_2)$.

Таким образом, мы показали, что для любых $y_1, y_2$ из области определения обратной функции из неравенства $y_1 < y_2$ следует неравенство $g(y_1) > g(y_2)$. Это по определению означает, что обратная функция $g(y)$ является убывающей.

Ответ: функция, обратная к убывающей функции, также является убывающей.

3.1. Какие из функций, графики которых изображены на рисунке 3.6, являются обратимыми?

Рис. 3.6

а

$y$, $x$, $0$.

б

$y$, $x$, $0$.

в

$y$, $x$, $0$.

г

$y$, $x$, $0$.

Функция является обратимой, если она взаимно однозначна, то есть каждому значению аргумента $x$ из области определения соответствует уникальное значение функции $y$, и наоборот. Графически это можно определить с помощью теста горизонтальной линии: функция обратима, если любая горизонтальная прямая пересекает её график не более чем в одной точке. Строго монотонные функции (то есть строго возрастающие или строго убывающие на всей области определения) всегда являются обратимыми.

Рассмотрим каждый график:

а

Функция, график которой изображен на рисунке а, является строго возрастающей на всей своей области определения. Любая горизонтальная прямая пересекает этот график только в одной точке. Следовательно, функция является взаимно однозначной и обратимой.

Ответ: функция обратима.

б

Функция на рисунке б не является монотонной. Она имеет участки возрастания и убывания, а также локальный максимум и локальный минимум. Можно провести горизонтальную прямую (например, на уровне между локальным максимумом и минимумом), которая пересечет график в трёх точках. Это означает, что одному значению $y$ соответствуют три разных значения $x$. Следовательно, функция не является взаимно однозначной и не обратима.

Ответ: функция не обратима.

в

Функция на рисунке в является строго возрастающей на всей своей области определения (которая состоит из двух интервалов). Несмотря на наличие точки разрыва при $x=0$, для каждого значения $y$ из области значений функции существует ровно одно соответствующее значение $x$. Тест горизонтальной линии показывает, что любая горизонтальная прямая пересекает график не более одного раза. Значит, функция обратима.

Ответ: функция обратима.

г

Функция, представленная на графике г, имеет горизонтальный участок. На этом участке всем значениям $x$ из некоторого интервала соответствует одно и то же значение $y$. Горизонтальная прямая, совпадающая с этим участком, пересекает график в бесконечном множестве точек. Таким образом, функция не является взаимно однозначной и не является обратимой.

Ответ: функция не обратима.

Итого, обратимыми являются функции, изображенные на рисунках а и в.

3.2. Какие из функций, графики которых изображены на рисунке 3.7, являются обратимыми?

Рис. 3.7

а

б

в

г

Для того чтобы функция была обратимой, необходимо и достаточно, чтобы она была строго монотонной на всей своей области определения. Строго монотонная функция — это функция, которая либо только строго возрастает, либо только строго убывает. Графически это можно определить с помощью теста горизонтальной линией: любая горизонтальная прямая должна пересекать график функции не более чем в одной точке.

Проанализируем каждый из представленных графиков:

а
На графике изображена функция, которая строго убывает на всей своей области определения. Каждому значению функции $y$ соответствует единственное значение аргумента $x$. Применяя тест горизонтальной линией, мы видим, что любая горизонтальная прямая пересекает график ровно в одной точке. Следовательно, эта функция является обратимой.
Ответ: функция является обратимой.

б
График представляет собой кусочно-заданную функцию. Несмотря на разрывы, функция является строго возрастающей на всей своей области определения. Для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) < f(x_2)$. Тест горизонтальной линией показывает, что любая горизонтальная прямая пересекает график не более чем в одной точке. Таким образом, функция является обратимой.
Ответ: функция является обратимой.

в
Эта функция не является монотонной на всей области определения. На одном участке она возрастает, а на другом — убывает. Можно провести горизонтальную прямую, например, $y=c$ (где $c$ — некоторое положительное число), которая пересечет график в двух точках. Это означает, что разным значениям аргумента $x$ соответствует одно и то же значение функции $y$. Следовательно, функция не является обратимой.
Ответ: функция не является обратимой.

г
На данном графике изображена функция, которая не является монотонной. Она имеет несколько интервалов возрастания и убывания. Горизонтальная прямая (например, ось абсцисс $y=0$) пересекает график в нескольких точках (в данном случае, в четырех). Это нарушает условие взаимно-однозначного соответствия между $x$ и $y$. Следовательно, функция не является обратимой.
Ответ: функция не является обратимой.

3.3. Докажите, что данная функция не является обратимой:

1) $y = |x|$

2) $y = \frac{1}{x^4}$

3) $y = 5$

Функция является обратимой, если она взаимно-однозначна (инъективна), то есть каждому значению функции $y$ из области значений соответствует только одно значение аргумента $x$ из области определения. Чтобы доказать, что функция не является обратимой, достаточно найти два различных значения аргумента $x_1$ и $x_2$ (где $x_1 \neq x_2$), для которых значения функции совпадают: $f(x_1) = f(x_2)$.

1) Для функции $y = |x|$.

Рассмотрим два различных значения аргумента, например, $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$. Очевидно, что $x_1 \neq x_2$.
Найдем значения функции для этих аргументов:
$y_1 = f(-3) = |-3| = 3$
$y_2 = f(3) = |3| = 3$
Мы видим, что $f(-3) = f(3)$, но $-3 \neq 3$. Поскольку разным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, данная функция не является взаимно-однозначной, а следовательно, не является обратимой.
Ответ: Функция $y = |x|$ не является обратимой, так как, например, значениям аргумента $x = -3$ и $x = 3$ соответствует одно и то же значение функции $y = 3$.

2) Для функции $y = \frac{1}{x^4}$.

Область определения данной функции — все действительные числа, кроме $x=0$. Рассмотрим два различных значения аргумента из области определения, например, $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$. Очевидно, что $x_1 \neq x_2$.
Найдем значения функции для этих аргументов:
$y_1 = f(-1) = \frac{1}{(-1)^4} = \frac{1}{1} = 1$
$y_2 = f(1) = \frac{1}{1^4} = \frac{1}{1} = 1$
Мы видим, что $f(-1) = f(1)$, но $-1 \neq 1$. Поскольку разным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, данная функция не является взаимно-однозначной, а следовательно, не является обратимой.
Ответ: Функция $y = \frac{1}{x^4}$ не является обратимой, так как, например, значениям аргумента $x = -1$ и $x = 1$ соответствует одно и то же значение функции $y = 1$.

3) Для функции $y = 5$.

Данная функция является постоянной (константой). Это означает, что для любого значения аргумента $x$ из области определения (все действительные числа) значение функции всегда равно 5.
Возьмем два любых различных значения аргумента, например, $x_1 = 0$ и $x_2 = 10$. Очевидно, что $x_1 \neq x_2$.
Найдем значения функции для этих аргументов:
$y_1 = f(0) = 5$
$y_2 = f(10) = 5$
Мы видим, что $f(0) = f(10)$, но $0 \neq 10$. Поскольку разным (и вообще любым) значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, данная функция не является взаимно-однозначной, а следовательно, не является обратимой.
Ответ: Функция $y = 5$ не является обратимой, так как любым двум различным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции $y = 5$.