Номер 5, страница 26 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5. Какой является функция, обратная к возрастающей функции? К убывающей функции?

К возрастающей функции

Пусть функция $y = f(x)$ является строго возрастающей на своей области определения. Это означает, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_1 < x_2$, то выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$. Строго монотонная функция (как возрастающая, так и убывающая) является взаимно-однозначной (инъективной), а значит, для нее существует обратная функция. Обозначим обратную функцию как $x = g(y)$.

Цель — определить характер монотонности функции $g(y)$. Для этого возьмем две произвольные точки $y_1$ и $y_2$ из области определения $g(y)$ (которая является областью значений $f(x)$) и предположим, что $y_1 < y_2$.

По определению обратной функции, существуют такие значения $x_1$ и $x_2$ из области определения $f(x)$, что $y_1 = f(x_1)$ и $y_2 = f(x_2)$. При этом также верно, что $x_1 = g(y_1)$ и $x_2 = g(y_2)$.

Исходное неравенство $y_1 < y_2$ можно переписать в виде $f(x_1) < f(x_2)$. Поскольку по условию функция $f(x)$ является строго возрастающей, неравенство $f(x_1) < f(x_2)$ может выполняться только в том случае, если $x_1 < x_2$. Докажем это от противного: если бы мы предположили, что $x_1 \ge x_2$, то из-за того, что $f(x)$ — возрастающая функция, следовало бы, что $f(x_1) \ge f(x_2)$. Это противоречит нашему условию $f(x_1) < f(x_2)$. Следовательно, наше предположение неверно, и должно быть $x_1 < x_2$.

Теперь, подставив в неравенство $x_1 < x_2$ выражения для $x_1$ и $x_2$ через обратную функцию, мы получаем: $g(y_1) < g(y_2)$.

Таким образом, мы показали, что для любых $y_1, y_2$ из области определения обратной функции из неравенства $y_1 < y_2$ следует неравенство $g(y_1) < g(y_2)$. Это по определению означает, что обратная функция $g(y)$ также является возрастающей.

Ответ: функция, обратная к возрастающей функции, также является возрастающей.

К убывающей функции

Пусть функция $y = f(x)$ является строго убывающей на своей области определения. Это означает, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_1 < x_2$, то выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$. Такая функция также имеет обратную, которую обозначим $x = g(y)$.

Для исследования монотонности $g(y)$ снова возьмем две произвольные точки $y_1$ и $y_2$ из ее области определения, такие что $y_1 < y_2$. Им соответствуют значения $x_1 = g(y_1)$ и $x_2 = g(y_2)$, для которых $y_1 = f(x_1)$ и $y_2 = f(x_2)$.

Неравенство $y_1 < y_2$ эквивалентно неравенству $f(x_1) < f(x_2)$. Поскольку по условию функция $f(x)$ является строго убывающей, неравенство $f(x_1) < f(x_2)$ может выполняться только в том случае, если $x_1 > x_2$. Докажем от противного: если бы мы предположили, что $x_1 \le x_2$, то из-за того, что $f(x)$ — убывающая функция, следовало бы, что $f(x_1) \ge f(x_2)$. Это противоречит нашему условию $f(x_1) < f(x_2)$. Следовательно, наше предположение неверно, и должно быть $x_1 > x_2$.

Подставив в неравенство $x_1 > x_2$ выражения для $x_1$ и $x_2$ через обратную функцию, получаем: $g(y_1) > g(y_2)$.

Таким образом, мы показали, что для любых $y_1, y_2$ из области определения обратной функции из неравенства $y_1 < y_2$ следует неравенство $g(y_1) > g(y_2)$. Это по определению означает, что обратная функция $g(y)$ является убывающей.

Ответ: функция, обратная к убывающей функции, также является убывающей.