Номер 3.1, страница 26 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

3.1. Какие из функций, графики которых изображены на рисунке 3.6, являются обратимыми?

Рис. 3.6

а

$y$, $x$, $0$.

б

$y$, $x$, $0$.

в

$y$, $x$, $0$.

г

$y$, $x$, $0$.

Функция является обратимой, если она взаимно однозначна, то есть каждому значению аргумента $x$ из области определения соответствует уникальное значение функции $y$, и наоборот. Графически это можно определить с помощью теста горизонтальной линии: функция обратима, если любая горизонтальная прямая пересекает её график не более чем в одной точке. Строго монотонные функции (то есть строго возрастающие или строго убывающие на всей области определения) всегда являются обратимыми.

Рассмотрим каждый график:

а

Функция, график которой изображен на рисунке а, является строго возрастающей на всей своей области определения. Любая горизонтальная прямая пересекает этот график только в одной точке. Следовательно, функция является взаимно однозначной и обратимой.

Ответ: функция обратима.

б

Функция на рисунке б не является монотонной. Она имеет участки возрастания и убывания, а также локальный максимум и локальный минимум. Можно провести горизонтальную прямую (например, на уровне между локальным максимумом и минимумом), которая пересечет график в трёх точках. Это означает, что одному значению $y$ соответствуют три разных значения $x$. Следовательно, функция не является взаимно однозначной и не обратима.

Ответ: функция не обратима.

в

Функция на рисунке в является строго возрастающей на всей своей области определения (которая состоит из двух интервалов). Несмотря на наличие точки разрыва при $x=0$, для каждого значения $y$ из области значений функции существует ровно одно соответствующее значение $x$. Тест горизонтальной линии показывает, что любая горизонтальная прямая пересекает график не более одного раза. Значит, функция обратима.

Ответ: функция обратима.

г

Функция, представленная на графике г, имеет горизонтальный участок. На этом участке всем значениям $x$ из некоторого интервала соответствует одно и то же значение $y$. Горизонтальная прямая, совпадающая с этим участком, пересекает график в бесконечном множестве точек. Таким образом, функция не является взаимно однозначной и не является обратимой.

Ответ: функция не обратима.

Итого, обратимыми являются функции, изображенные на рисунках а и в.