gdz.top
Номер 3.6, страница 27 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2021 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, красный
ISBN: 978-5-09-087861-6
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 1. Повторение и расширение сведений о функции. Параграф 3. Обратная функция. Упражнения - номер 3.6, страница 27.
№3.5
№3.6 (с. 27)
Условие. №3.6 (с. 27)
3.6. Найдите функцию, обратную к данной:
1) $y = 2\sqrt{x-1}$;
2) $y = x^2, D(y) = (-\infty; 0]$;
3) $y = \frac{1-x}{1+x}$.
Решение 1. №3.6 (с. 27)
Решение 2. №3.6 (с. 27)
Решение 3. №3.6 (с. 27)
Решение 4. №3.6 (с. 27)
Решение 5. №3.6 (с. 27)
1) Для функции $y = 2\sqrt{x-1}$ найдем обратную.
Сначала определим область определения и область значений. Область определения $D(y)$ требует, чтобы $x-1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$. Таким образом, $D(y) = [1; +\infty)$. Область значений $E(y)$ определяется тем, что $\sqrt{x-1} \ge 0$, следовательно $y \ge 0$. Таким образом, $E(y) = [0; +\infty)$.
Теперь выразим $x$ через $y$:
$y = 2\sqrt{x-1}$
$\frac{y}{2} = \sqrt{x-1}$
$\left(\frac{y}{2}\right)^2 = x-1$
$\frac{y^2}{4} = x-1$
$x = \frac{y^2}{4} + 1$
Поменяв $x$ и $y$ местами, получим обратную функцию: $y = \frac{x^2}{4} + 1$. Область определения этой функции — это область значений исходной, то есть $x \ge 0$.
Ответ: $y = \frac{x^2}{4} + 1$ при $x \ge 0$.
2) Для функции $y = x^2$ с областью определения $D(y) = (-\infty; 0]$ найдем обратную.
На указанной области функция монотонна, значит, обратная функция существует. Область значений $E(y)$ для $x \in (-\infty; 0]$ есть $[0; +\infty)$.
Выразим $x$ через $y$ из уравнения $y = x^2$. Отсюда $x = \pm\sqrt{y}$. Поскольку по условию $x \le 0$ (исходная область определения), мы должны выбрать отрицательный корень: $x = -\sqrt{y}$.
Поменяв $x$ и $y$ местами, получим обратную функцию: $y = -\sqrt{x}$.
Ответ: $y = -\sqrt{x}$.
3) Для функции $y = \frac{1-x}{1+x}$ найдем обратную.
Область определения $D(y)$ задается условием $1+x \ne 0$, то есть $x \ne -1$.
Выразим $x$ через $y$:
$y(1+x) = 1-x$
$y + yx = 1-x$
$yx + x = 1-y$
$x(y+1) = 1-y$
$x = \frac{1-y}{1+y}$
Поменяв $x$ и $y$ местами, получим обратную функцию: $y = \frac{1-x}{1+x}$. Данная функция является обратной самой себе.
Ответ: $y = \frac{1-x}{1+x}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 3.6 расположенного на странице 27 к учебнику 2021 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №3.6 (с. 27), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.