Номер 3.7, страница 27 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

3.7. Найдите функцию, обратную к данной:

1) $y = \frac{x+2}{x}$;

2) $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$;

3) $y = \sqrt{x^2 - 4}, D(y) = [2; +\infty)$.

1)

Дана функция $y = \frac{x+2}{x}$. Чтобы найти обратную функцию, необходимо выразить переменную $x$ через $y$.

Область определения исходной функции $D(y)$: $x \neq 0$.

Преобразуем уравнение:

$y \cdot x = x + 2$

$yx - x = 2$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(y - 1) = 2$

Отсюда выражаем $x$:

$x = \frac{2}{y-1}$

Теперь, чтобы получить обратную функцию в стандартном виде, меняем местами переменные $x$ и $y$:

$y = \frac{2}{x-1}$

Это и есть искомая обратная функция.

Ответ: $y = \frac{2}{x-1}$.

2)

Дана функция $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

Область определения исходной функции $D(y)$ задается условием $x > 0$. Область значений $E(y)$ также состоит из всех положительных чисел, т.е. $y > 0$.

Выразим $x$ через $y$. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат:

$y^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2$

$y^2 = \frac{1}{x}$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{1}{y^2}$

Меняем местами $x$ и $y$, чтобы записать обратную функцию:

$y = \frac{1}{x^2}$

Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной, то есть $x > 0$.

Ответ: $y = \frac{1}{x^2}$, при $x > 0$.

3)

Дана функция $y = \sqrt{x^2 - 4}$ с областью определения $D(y) = [2; +\infty)$.

На этой области определения функция является монотонно возрастающей, а значит, обратимой.

Найдем область значений $E(y)$. При $x=2$, $y = \sqrt{2^2 - 4} = 0$. Когда $x$ стремится к $+\infty$, $y$ также стремится к $+\infty$. Таким образом, область значений $E(y) = [0; +\infty)$.

Теперь выразим $x$ через $y$. Возведем обе части уравнения в квадрат (это корректно, так как $y \ge 0$):

$y^2 = x^2 - 4$

$x^2 = y^2 + 4$

$x = \pm \sqrt{y^2 + 4}$

Согласно исходной области определения $D(y) = [2; +\infty)$, мы знаем, что $x \ge 2$. Поэтому мы должны выбрать знак "плюс" перед корнем:

$x = \sqrt{y^2 + 4}$

Меняем местами $x$ и $y$ для получения обратной функции:

$y = \sqrt{x^2 + 4}$

Область определения обратной функции - это область значений исходной функции, то есть $x \ge 0$.

Ответ: $y = \sqrt{x^2+4}$, при $x \ge 0$.