Номер 3.3, страница 26 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

3.3. Докажите, что данная функция не является обратимой:

1) $y = |x|$

2) $y = \frac{1}{x^4}$

3) $y = 5$

Функция является обратимой, если она взаимно-однозначна (инъективна), то есть каждому значению функции $y$ из области значений соответствует только одно значение аргумента $x$ из области определения. Чтобы доказать, что функция не является обратимой, достаточно найти два различных значения аргумента $x_1$ и $x_2$ (где $x_1 \neq x_2$), для которых значения функции совпадают: $f(x_1) = f(x_2)$.

1) Для функции $y = |x|$.

Рассмотрим два различных значения аргумента, например, $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$. Очевидно, что $x_1 \neq x_2$.
Найдем значения функции для этих аргументов:
$y_1 = f(-3) = |-3| = 3$
$y_2 = f(3) = |3| = 3$
Мы видим, что $f(-3) = f(3)$, но $-3 \neq 3$. Поскольку разным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, данная функция не является взаимно-однозначной, а следовательно, не является обратимой.
Ответ: Функция $y = |x|$ не является обратимой, так как, например, значениям аргумента $x = -3$ и $x = 3$ соответствует одно и то же значение функции $y = 3$.

2) Для функции $y = \frac{1}{x^4}$.

Область определения данной функции — все действительные числа, кроме $x=0$. Рассмотрим два различных значения аргумента из области определения, например, $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$. Очевидно, что $x_1 \neq x_2$.
Найдем значения функции для этих аргументов:
$y_1 = f(-1) = \frac{1}{(-1)^4} = \frac{1}{1} = 1$
$y_2 = f(1) = \frac{1}{1^4} = \frac{1}{1} = 1$
Мы видим, что $f(-1) = f(1)$, но $-1 \neq 1$. Поскольку разным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, данная функция не является взаимно-однозначной, а следовательно, не является обратимой.
Ответ: Функция $y = \frac{1}{x^4}$ не является обратимой, так как, например, значениям аргумента $x = -1$ и $x = 1$ соответствует одно и то же значение функции $y = 1$.

3) Для функции $y = 5$.

Данная функция является постоянной (константой). Это означает, что для любого значения аргумента $x$ из области определения (все действительные числа) значение функции всегда равно 5.
Возьмем два любых различных значения аргумента, например, $x_1 = 0$ и $x_2 = 10$. Очевидно, что $x_1 \neq x_2$.
Найдем значения функции для этих аргументов:
$y_1 = f(0) = 5$
$y_2 = f(10) = 5$
Мы видим, что $f(0) = f(10)$, но $0 \neq 10$. Поскольку разным (и вообще любым) значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, данная функция не является взаимно-однозначной, а следовательно, не является обратимой.
Ответ: Функция $y = 5$ не является обратимой, так как любым двум различным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции $y = 5$.