Номер 1, страница 26 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Какую функцию называют обратимой?

Функцию называют обратимой, если она устанавливает взаимно-однозначное соответствие между элементами своей области определения и элементами области значений. Проще говоря, обратимая функция каждое своё значение принимает только один раз. Если разным значениям аргумента всегда соответствуют разные значения функции, то такая функция является обратимой.

Формальное определение: функция $y = f(x)$, определённая на множестве $X$ с областью значений $Y$, называется обратимой, если для любых двух различных аргументов $x_1 \in X$ и $x_2 \in X$ ($x_1 \neq x_2$) их значения также различны: $f(x_1) \neq f(x_2)$. Такое свойство функции называется инъективностью.

Для каждой обратимой функции $f$ существует обратная функция, которую обозначают как $f^{-1}$. Эта функция сопоставляет каждому значению $y$ из области значений функции $f$ то единственное значение $x$, при котором $f(x) = y$. Таким образом, если $y = f(x)$, то $x = f^{-1}(y)$.

Ключевые свойства и критерии:

• Монотонность: Достаточным условием обратимости функции является её строгая монотонность. Если функция на всей своей области определения является строго возрастающей или строго убывающей, то она обратима.
• Графический критерий (тест горизонтальной линии): Функция обратима тогда и только тогда, когда любая горизонтальная прямая $y = c$ пересекает её график не более чем в одной точке.
• Симметрия графиков: График обратной функции $y = f^{-1}(x)$ симметричен графику исходной функции $y = f(x)$ относительно прямой $y = x$.

Пример 1: Обратимая функция

Рассмотрим функцию $f(x) = 2x + 1$. Эта функция является строго возрастающей на всей числовой прямой, значит, она обратима. Чтобы найти для неё обратную, нужно из уравнения $y = 2x + 1$ выразить $x$:

$y - 1 = 2x$

$x = \frac{y-1}{2}$

Заменив $y$ на $x$ для стандартного обозначения, получаем обратную функцию: $f^{-1}(x) = \frac{x-1}{2}$.

Пример 2: Необратимая функция

Функция $f(x) = x^2$ не является обратимой на множестве всех действительных чисел $\mathbb{R}$, так как, например, $f(-3) = 9$ и $f(3) = 9$. Одному значению функции $y=9$ соответствуют два разных аргумента: $x=-3$ и $x=3$. Графически это означает, что горизонтальная прямая $y=9$ пересекает параболу $y=x^2$ в двух точках. Однако, если ограничить область определения, например, промежутком $[0; +\infty)$, то на этом промежутке функция $f(x) = x^2$ будет строго возрастать и станет обратимой. Её обратной функцией будет $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$.

Ответ: Обратимой называют функцию, которая каждое своё значение принимает ровно в одной точке её области определения. То есть для любых двух различных аргументов $x_1$ и $x_2$ значения функции $f(x_1)$ и $f(x_2)$ также будут различны. Основным признаком обратимости является строгая монотонность функции (строгое возрастание или убывание).