Номер 2, страница 26 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

2. Сформулируйте теорему об обратимости возрастающей (убывающей) функции.

2. Теорема об обратимости строго монотонной функции.

Формулировка: Если функция $y = f(x)$ строго возрастает (или строго убывает) на некотором промежутке $X$, то существует обратная ей функция $x = g(y)$, определенная на множестве значений $Y = f(X)$. При этом обратная функция $g(y)$ также является строго возрастающей (соответственно, строго убывающей).

Развернутое объяснение и доказательство:

Для существования обратной функции необходимо и достаточно, чтобы исходная функция $f(x)$ была инъективной (или взаимно-однозначной). Это означает, что разным значениям аргумента $x$ должны соответствовать разные значения функции $f(x)$. То есть, для любых $x_1, x_2$ из области определения, если $x_1 \neq x_2$, то $f(x_1) \neq f(x_2)$. Теорема утверждает, что строгая монотонность является достаточным условием для обратимости.

Доказательство обратимости (инъективности):
Пусть функция $f(x)$ строго возрастает на промежутке $X$. Это значит, что для любых $x_1, x_2 \in X$ из $x_1 < x_2$ следует $f(x_1) < f(x_2)$.
Возьмем два любых различных значения $x_1 \neq x_2$ из $X$. Пусть, для определенности, $x_1 < x_2$. Тогда по определению строго возрастающей функции $f(x_1) < f(x_2)$, и, следовательно, $f(x_1) \neq f(x_2)$.
Аналогично, если функция $f(x)$ строго убывает, то из $x_1 < x_2$ следует $f(x_1) > f(x_2)$, что также означает $f(x_1) \neq f(x_2)$.
Таким образом, любая строго монотонная функция инъективна, а значит, и обратима.

Доказательство монотонности обратной функции:
Пусть $f(x)$ — строго возрастающая функция, а $g(y)$ — ее обратная функция. Возьмем два любых значения $y_1, y_2$ из области определения $g(y)$ так, что $y_1 < y_2$.
Этим значениям соответствуют $x_1 = g(y_1)$ и $x_2 = g(y_2)$, причем $y_1 = f(x_1)$ и $y_2 = f(x_2)$.
Докажем, что $x_1 < x_2$. Предположим противное: $x_1 \ge x_2$.
1. Если $x_1 = x_2$, то $f(x_1) = f(x_2)$, что означает $y_1 = y_2$. Это противоречит нашему условию $y_1 < y_2$.
2. Если $x_1 > x_2$, то, поскольку $f(x)$ строго возрастает, $f(x_1) > f(x_2)$, что означает $y_1 > y_2$. Это также противоречит условию $y_1 < y_2$.
Оба случая невозможны. Следовательно, наше предположение неверно, и должно выполняться $x_1 < x_2$. Это означает, что функция $g(y)$ является строго возрастающей.
Аналогичное рассуждение для строго убывающей функции $f(x)$ показывает, что ее обратная функция $g(y)$ также будет строго убывающей.

Ответ: Если функция строго возрастает (или убывает) на некотором промежутке, то она имеет на этом промежутке обратную функцию, которая также строго возрастает (соответственно, убывает).