Номер 3.10, страница 27 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

3.10. Постройте в одной системе координат график данной функции и график функции, обратной к ней:

1) $y = -0.5x + 2;$

2) $y = \sqrt{x+1};$

3) $y = \begin{cases} x, \text{ если } x \ge 0, \\ 2x, \text{ если } x < 0. \end{cases}$

1)

Дана линейная функция $y = -0,5x + 2$. Её график — прямая. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Чтобы найти обратную функцию, выразим $x$ через $y$ из исходного уравнения: $y - 2 = -0,5x$ $x = \frac{y-2}{-0,5}$ $x = -2(y-2)$ $x = -2y + 4$

Теперь поменяем местами $x$ и $y$, чтобы получить функцию в привычном виде: $y = -2x + 4$. Это и есть обратная функция.

Для построения графиков в одной системе координат найдем по две точки для каждой прямой:

• Для $y = -0,5x + 2$: возьмем точки $(0, 2)$ и $(4, 0)$.
• Для $y = -2x + 4$: возьмем точки $(0, 4)$ и $(2, 0)$.

Строим две прямые, проходящие через эти пары точек. Графики исходной и обратной функций симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: обратная функция $y = -2x + 4$.

2)

Дана функция $y = \sqrt{x+1}$.

Найдем её область определения и область значений:

• Область определения $D(y)$: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, $x+1 \ge 0$, откуда $x \ge -1$. Таким образом, $D(y) = [-1; +\infty)$.
• Область значений $E(y)$: арифметический квадратный корень всегда неотрицателен, поэтому $y \ge 0$. Таким образом, $E(y) = [0; +\infty)$.

Для нахождения обратной функции выразим $x$ через $y$: $y = \sqrt{x+1}$ При условии $y \ge 0$, возводим обе части в квадрат: $y^2 = x+1$ $x = y^2 - 1$

Меняем местами $x$ и $y$: $y = x^2 - 1$. Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной, то есть $x \ge 0$.

Для построения графиков:

• График $y = \sqrt{x+1}$ — это ветвь параболы, начинающаяся в точке $(-1, 0)$ и проходящая через точки $(0, 1)$ и $(3, 2)$.
• График обратной функции $y = x^2 - 1$ при $x \ge 0$ — это правая ветвь параболы с вершиной в точке $(0, -1)$, проходящая через точки $(1, 0)$ и $(2, 3)$.

Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: обратная функция $y = x^2 - 1$, где $x \ge 0$.

3)

Дана кусочно-заданная функция $y = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0, \\ 2x, & \text{если } x < 0. \end{cases}$

Эта функция определена и монотонно возрастает на всей числовой оси, поэтому она обратима. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем обратную функцию для каждого участка отдельно:

• При $x \ge 0$ имеем $y=x$. Область значений на этом участке $y \ge 0$. Обратная функция здесь очевидна: $x=y$, или $y=x$. Она будет определена при $x \ge 0$.
• При $x < 0$ имеем $y=2x$. Область значений на этом участке $y < 0$. Выразим $x$: $x = \frac{y}{2}$. Меняем $x$ и $y$ местами: $y = \frac{x}{2}$ или $y=0,5x$. Эта часть обратной функции определена для $x < 0$.

Объединяя результаты, получаем обратную функцию: $y = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0, \\ 0,5x, & \text{если } x < 0. \end{cases}$

Для построения графиков:

• График исходной функции $y(x)$ состоит из двух лучей, выходящих из начала координат: луча $y=x$ в первой четверти и луча $y=2x$ в третьей четверти.
• График обратной функции также состоит из двух лучей из начала координат: луча $y=x$ в первой четверти (он совпадает с частью исходного графика) и луча $y=0,5x$ в третьей четверти.

Графики симметричны относительно прямой $y=x$. Луч $y=x$ при $x \ge 0$ симметричен сам себе. Лучи $y=2x$ и $y=0,5x$ при $x < 0$ симметричны друг другу относительно прямой $y=x$.

Ответ: обратная функция $y = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0, \\ 0,5x, & \text{если } x < 0. \end{cases}$