Номер 3.15, страница 28 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

3.15. Две бригады, работая вместе, вспахали поле за 8 ч. За сколько часов может вспахать поле каждая бригада, работая самостоятельно, если одной бригаде для этого требуется на 12 ч больше, чем другой?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это время в часах, за которое первая (более быстрая) бригада может вспахать поле, работая в одиночку.

Согласно условию, второй бригаде требуется на 12 часов больше, следовательно, время ее работы составит $(x + 12)$ часов.

Производительность труда — это объем работы, выполняемый за единицу времени. Примем всю работу (вспашку одного поля) за 1.
Тогда производительность первой бригады равна $\frac{1}{x}$ поля/час.
Производительность второй бригады равна $\frac{1}{x+12}$ поля/час.

Когда бригады работают вместе, их производительности складываются. По условию, совместная работа занимает 8 часов, значит, их общая производительность составляет $\frac{1}{8}$ поля/час.
На основе этого составляем уравнение:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+12} = \frac{1}{8}$

Решим полученное уравнение. Сначала приведем дроби в левой части к общему знаменателю:
$\frac{x+12+x}{x(x+12)} = \frac{1}{8}$
$\frac{2x+12}{x^2+12x} = \frac{1}{8}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции (умножим крест-накрест):
$8(2x+12) = 1(x^2+12x)$
$16x+96 = x^2+12x$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2+12x-16x-96 = 0$
$x^2-4x-96 = 0$

Найдем корни этого уравнения, используя формулу для корней квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 16 + 384 = 400$
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{4+20}{2} = \frac{24}{2} = 12$
$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{4-20}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Корень $x_2 = -8$ не удовлетворяет условию задачи, так как время не может быть отрицательной величиной. Значит, время работы первой бригады составляет 12 часов.

Теперь вычислим время работы второй бригады:
$x+12 = 12+12 = 24$ часа.

Ответ: одна бригада может вспахать поле за 12 часов, а другая — за 24 часа.