Номер 4, страница 33 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

4. Какое уравнение называют следствием данного уравнения?

Уравнение (2) называют следствием уравнения (1), если множество корней уравнения (1) является подмножеством множества корней уравнения (2). Иначе говоря, каждый корень уравнения (1) должен быть также и корнем уравнения (2).

При этом уравнение-следствие (2) может иметь корни, которые не являются корнями исходного уравнения (1). Такие корни называют посторонними. Поэтому при решении уравнений методом перехода к следствию обязательным этапом является проверка всех найденных корней путем их подстановки в исходное уравнение.

Переход к уравнению-следствию часто возникает при выполнении следующих преобразований:

• Возведение обеих частей уравнения в четную степень.
• Освобождение от знаменателя в дробно-рациональных уравнениях.
• Применение формул, расширяющих область определения (например, некоторых тригонометрических тождеств).

Пример:

Рассмотрим уравнение $\sqrt{x+2} = x$.

Для его решения возведем обе части в квадрат. Это преобразование приводит к уравнению-следствию:

$(\sqrt{x+2})^2 = x^2$

$x+2 = x^2$

Перенесем все члены в одну часть и получим квадратное уравнение:

$x^2 - x - 2 = 0$

Это уравнение является следствием исходного. Найдем его корни, например, по теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 1$

$x_1 \cdot x_2 = -2$

Корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Теперь выполним проверку найденных корней, подставив их в исходное уравнение $\sqrt{x+2} = x$.

Проверка для $x_1 = 2$:

$\sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2$

$2 = 2$

Равенство верное, значит $x=2$ является корнем исходного уравнения.

Проверка для $x_2 = -1$:

$\sqrt{-1+2} = \sqrt{1} = 1$

$-1$

Получаем $1 = -1$, что является неверным равенством. Следовательно, $x=-1$ — это посторонний корень, который появился в результате возведения в квадрат.

Таким образом, множество корней исходного уравнения — $\{2\}$, а множество корней уравнения-следствия — $\{-1, 2\}$. Так как $\{2\} \subset \{-1, 2\}$, уравнение $x^2 - x - 2 = 0$ является следствием уравнения $\sqrt{x+2} = x$.

Ответ: Уравнением-следствием для данного уравнения называют такое уравнение, которому удовлетворяют все корни данного уравнения. При этом уравнение-следствие может иметь и другие, посторонние корни, не являющиеся корнями исходного уравнения.