Номер 3, страница 33 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

3. С помощью каких преобразований уравнения можно получить уравнение, равносильное данному?

Чтобы получить уравнение, равносильное (эквивалентное) данному, можно выполнять преобразования, которые не изменяют множество корней исходного уравнения. Равносильными называются уравнения, имеющие одинаковые множества решений (или не имеющие их вовсе).

К таким преобразованиям относятся следующие:

1. Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с изменением знака

   Это преобразование основано на свойстве равенств: если к обеим частям верного равенства прибавить или из обеих частей вычесть одно и то же число (или выражение), то получится верное равенство. Формально, уравнение $A(x) = B(x)$ равносильно уравнению $A(x) - B(x) = 0$.
   Например, уравнение $3x + 5 = 10$ равносильно уравнению $3x = 10 - 5$. Перенос слагаемого $5$ в правую часть равносилен вычитанию $5$ из обеих частей уравнения. Множество корней не изменяется.

2. Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число или выражение

   Уравнение $A(x) = B(x)$ равносильно уравнению $A(x) \cdot C = B(x) \cdot C$ (или $A(x) / C = B(x) / C$) при условии, что $C$ — это число, не равное нулю ($C \neq 0$), или выражение, которое определено и не обращается в ноль на области допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения.
   Например, уравнение $0.5x = 4$ равносильно уравнению $x = 8$ (обе части умножены на 2).
   Однако, решая уравнение $x^2 = 2x$, нельзя просто разделить на $x$, так как это привело бы к потере корня $x=0$. Правильное преобразование — перенос слагаемого: $x^2 - 2x = 0$, а затем разложение на множители: $x(x-2)=0$.

3. Тождественные преобразования одной из частей уравнения

   Можно заменять любую из частей уравнения (левую или правую) тождественно равным ей выражением, не изменяя при этом область определения уравнения. К таким преобразованиям относятся: раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, применение формул сокращенного умножения, разложение на множители и т.д.
   Например, в уравнении $(x+2)^2 - x^2 = 10$ можно преобразовать левую часть: $(x^2 + 4x + 4) - x^2 = 10$, что приводит к равносильному уравнению $4x + 4 = 10$.

4. Применение обратимой функции к обеим частям уравнения

   Если функция $y=f(t)$ является строго монотонной (всегда возрастает или всегда убывает), то уравнение $g(x) = h(x)$ равносильно уравнению $f(g(x)) = f(h(x))$.

   Примерами таких преобразований являются:

   • Возведение обеих частей уравнения в нечетную степень. Например, уравнение $\sqrt[3]{x} = 2$ равносильно уравнению $(\sqrt[3]{x})^3 = 2^3$, то есть $x = 8$.
   • Логарифмирование обеих частей уравнения по одному и тому же основанию, если обе части положительны. Например, если $g(x) > 0$ и $h(x) > 0$, то уравнение $g(x) = h(x)$ равносильно уравнению $\log_a(g(x)) = \log_a(h(x))$ при $a > 0, a \neq 1$.

   Преобразования, которые могут привести к неравносильному уравнению (и требуют проверки корней), включают возведение обеих частей в четную степень. Это преобразование является равносильным только при условии неотрицательности обеих частей исходного уравнения. В противном случае оно может добавить посторонние корни. Например, уравнение $x=2$ имеет один корень, а уравнение $x^2 = 4$, полученное возведением в квадрат, имеет два корня: $x=2$ и $x=-2$.

Ответ: Для получения равносильного уравнения можно использовать следующие преобразования:

• Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком.
• Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же число (или выражение), которое отлично от нуля на всей области допустимых значений уравнения.
• Выполнение тождественных преобразований (раскрытие скобок, приведение подобных и т.д.) в левой или правой части уравнения без изменения его области определения.
• Применение к обеим частям уравнения строго монотонной функции (например, возведение в нечетную степень или логарифмирование положительных частей).