Номер 3.18, страница 28 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

3.18. Какие из следующих множеств являются подмножествами множества $A = [-3; +\infty)$:

1) $B = [2; +\infty);$

2) $C = [-3,5; +\infty);$

3) $D = (-1; 2]?$

По определению, множество X является подмножеством множества Y, если каждый элемент множества X также является элементом множества Y. В данном случае нам нужно проверить, какие из множеств B, C и D являются подмножествами множества $A = [-3; +\infty)$. Множество A включает в себя все действительные числа, которые больше или равны -3.

1) $B = [2; +\infty)$
Множество $B$ включает все действительные числа $x$, такие что $x \ge 2$. Чтобы $B$ было подмножеством $A$, необходимо, чтобы для любого элемента $x$ из $B$ выполнялось условие $x \in A$, то есть $x \ge -3$.
Поскольку любое число $x$, удовлетворяющее условию $x \ge 2$, очевидно, удовлетворяет и условию $x \ge -3$ (так как $2 > -3$), то все элементы множества $B$ содержатся в множестве $A$.
Следовательно, $B \subseteq A$.
Ответ: является.

2) $C = [-3,5; +\infty)$
Множество $C$ включает все действительные числа $x$, такие что $x \ge -3,5$. Проверим, все ли элементы этого множества принадлежат множеству $A$.
Рассмотрим, например, число $x = -3,1$. Это число принадлежит множеству $C$, так как $-3,1 \ge -3,5$.
Однако, это число не принадлежит множеству $A$, так как условие $x \ge -3$ для него не выполняется ($-3,1 < -3$).
Поскольку мы нашли элемент в $C$, который не принадлежит $A$, множество $C$ не является подмножеством $A$.
Ответ: не является.

3) $D = (-1; 2]$
Множество $D$ включает все действительные числа $x$, такие что $-1 < x \le 2$. Чтобы $D$ было подмножеством $A$, необходимо, чтобы для любого элемента $x$ из $D$ выполнялось условие $x \in A$, то есть $x \ge -3$.
Для любого числа $x$ из интервала $(-1; 2]$ выполняется двойное неравенство $-1 < x \le 2$. Левая часть этого неравенства, $x > -1$, показывает, что все элементы множества $D$ строго больше -1. Так как $-1 > -3$, то все элементы множества $D$ также больше -3, то есть для любого $x \in D$ выполняется $x \ge -3$.
Следовательно, $D \subseteq A$.
Ответ: является.