Номер 3.16, страница 28 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

3.16. Равны ли множества $A$ и $B$, если:

1) $A = \{1, 2\}$, $B = \{2, 1\};

2) $A = [-1; 2)$, $B = (-1; 2];

3) $A$ – множество корней уравнения $|x| = x$, $B = [0; +\infty)?

1) Два множества считаются равными, если они содержат одни и те же элементы. Порядок, в котором элементы перечислены в множестве, не имеет значения. Множество $A = \{1, 2\}$ состоит из элементов 1 и 2. Множество $B = \{2, 1\}$ также состоит из элементов 1 и 2. Так как оба множества содержат одинаковые элементы, они равны.
Ответ: Да, множества равны.

2) Множество $A = [-1; 2)$ — это числовой промежуток, который включает все действительные числа $x$, удовлетворяющие двойному неравенству $-1 \le x < 2$. Число -1 принадлежит этому множеству ($ -1 \in A $), а число 2 не принадлежит ($ 2 \notin A $).
Множество $B = (-1; 2]$ — это числовой промежуток, который включает все действительные числа $x$, удовлетворяющие двойному неравенству $-1 < x \le 2$. Число -1 не принадлежит этому множеству ($ -1 \notin B $), а число 2 принадлежит ($ 2 \in B $).
Поскольку множества не состоят из одних и тех же элементов (например, элемент -1 есть в $A$, но нет в $B$), они не равны.
Ответ: Нет, множества не равны.

3) Множество $A$ — это множество корней уравнения $|x| = x$. Чтобы найти элементы этого множества, решим уравнение, раскрыв модуль:
1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид $x = x$. Это тождество, верное для всех $x$ из этого промежутка. Следовательно, все числа из промежутка $[0; +\infty)$ являются решениями.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид $-x = x$, что равносильно $2x = 0$, откуда $x = 0$. Однако корень $x=0$ не удовлетворяет условию $x < 0$, поэтому в этом случае решений нет.
Объединяя результаты, получаем, что множество решений уравнения — это все неотрицательные числа. Таким образом, $A = [0; +\infty)$.
Множество $B$ по условию равно $B = [0; +\infty)$.
Так как множества $A$ и $B$ полностью совпадают, они равны.
Ответ: Да, множества равны.