Номер 3.11, страница 27 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

3.11. Постройте в одной системе координат график данной функции и график функции, обратной к ней:

1) $y = 3x - 1$;

2) $y = x^2 - 4$, если $x \ge 0$;

3) $y = \begin{cases} \sqrt{x}, & \text{если } x \ge 0, \\ \frac{1}{2}x, & \text{если } x < 0. \end{cases}$

1) $y = 3x - 1$

Данная функция $y = 3x - 1$ является линейной. Её область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$ и область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$. График этой функции — прямая линия. Для построения графика найдём две точки: при $x=0$, $y=-1$ (точка $(0, -1)$), и при $x=1$, $y=2$ (точка $(1, 2)$).

Чтобы найти обратную функцию, выразим $x$ через $y$ из уравнения $y = 3x - 1$:

$y + 1 = 3x \Rightarrow x = \frac{y+1}{3}$

Теперь поменяем местами $x$ и $y$, чтобы получить уравнение обратной функции: $y = \frac{x+1}{3}$ или $y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$.

Графиком обратной функции также является прямая. Её точки можно получить, поменяв координаты точек исходной функции: $(-1, 0)$ и $(2, 1)$.

В одной системе координат строим прямую $y = 3x - 1$ по точкам $(0, -1)$ и $(1, 2)$, и прямую $y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$ по точкам $(-1, 0)$ и $(2, 1)$. Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: $y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$.

2) $y = x^2 - 4$, если $x \ge 0$

Данная функция определена на луче $[0, +\infty)$. Это правая ветвь параболы с вершиной в точке $(0, -4)$. Найдём область значений функции. Поскольку $x \ge 0$, то $x^2 \ge 0$, следовательно $y = x^2 - 4 \ge -4$. Область значений $E(y) = [-4, +\infty)$. Ключевые точки для построения графика: вершина $(0, -4)$ и пересечение с осью Ox в точке $(2, 0)$ (так как $x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x=2$ при $x \ge 0$).

Теперь найдём обратную функцию. Выразим $x$ через $y$ из уравнения $y = x^2 - 4$:

$x^2 = y + 4$

$x = \pm\sqrt{y+4}$

Так как по условию $x \ge 0$, мы выбираем положительный корень: $x = \sqrt{y+4}$.

Меняем $x$ и $y$ местами: $y = \sqrt{x+4}$.

Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной: $x \ge -4$. Область значений обратной функции совпадает с областью определения исходной: $y \ge 0$.

График обратной функции $y = \sqrt{x+4}$ — это ветвь параболы, симметричная оси Ox, с началом в точке $(-4, 0)$. Ключевые точки: начало $(-4, 0)$ и пересечение с осью Oy $(0, 2)$. Эти точки симметричны точкам $(0, -4)$ и $(2, 0)$ исходного графика относительно прямой $y=x$.

Ответ: $y = \sqrt{x+4}$.

3) $y = \begin{cases} \sqrt{x}, & \text{если } x \ge 0 \\ \frac{1}{2}x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Данная функция является кусочно-заданной. Найдём обратную функцию для каждого участка.

Участок 1: $y = \sqrt{x}$ при $x \ge 0$. Область определения этого участка $D_1 = [0, +\infty)$, область значений $E_1 = [0, +\infty)$. Найдём обратную функцию: $y = \sqrt{x} \Rightarrow y^2 = x$. После замены $x$ на $y$ и наоборот, получаем $y = x^2$. Область определения обратной функции для этого участка равна $E_1$, то есть $x \ge 0$.

Участок 2: $y = \frac{1}{2}x$ при $x < 0$. Область определения этого участка $D_2 = (-\infty, 0)$, область значений $E_2 = (-\infty, 0)$. Найдём обратную функцию: $y = \frac{1}{2}x \Rightarrow x = 2y$. После замены $x$ на $y$ и наоборот, получаем $y = 2x$. Область определения обратной функции для этого участка равна $E_2$, то есть $x < 0$.

Объединяя результаты, получаем обратную функцию: $y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \ge 0 \\ 2x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$.

Для построения графиков: исходная функция $y=f(x)$ состоит из ветви параболы $y=\sqrt{x}$ (точки $(0,0), (1,1), (4,2)$) для $x \ge 0$ и прямой $y=0.5x$ (точки $(-2,-1), (-4,-2)$) для $x < 0$. Обратная функция $y=g(x)$ состоит из ветви параболы $y=x^2$ (точки $(0,0), (1,1), (2,4)$) для $x \ge 0$ и прямой $y=2x$ (точки $(-1,-2), (-2,-4)$) для $x < 0$. График обратной функции является зеркальным отражением графика исходной функции относительно прямой $y=x$.

Ответ: $y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \ge 0 \\ 2x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$.