Номер 6, страница 33 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

6. С помощью каких преобразований неравенства можно получить неравенство, равносильное данному?

Равносильное (или эквивалентное) неравенство — это неравенство, которое имеет то же самое множество решений, что и исходное. Для получения неравенства, равносильного данному, можно выполнять следующие преобразования, которые не приводят к потере или приобретению посторонних корней.

1. Перенос слагаемых из одной части неравенства в другую.

   Любой член неравенства можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный. Это преобразование равносильно прибавлению к обеим частям неравенства одного и того же выражения.

   Например, неравенство $f(x) + c > g(x)$ равносильно неравенству $f(x) > g(x) - c$.

2. Умножение или деление обеих частей неравенства на положительное число или выражение.

   Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же число $c > 0$ (или на выражение $h(x)$, которое положительно при всех допустимых значениях $x$). При этом знак неравенства сохраняется.

   Например, если $c > 0$, то неравенство $f(x) < g(x)$ равносильно неравенству $c \cdot f(x) < c \cdot g(x)$.

3. Умножение или деление обеих частей неравенства на отрицательное число или выражение.

   Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же число $c < 0$ (или на выражение $h(x)$, которое отрицательно при всех допустимых значениях $x$). При этом знак неравенства необходимо изменить на противоположный ($>$ на <, $\ge$ на $\le$ и т.д.).

   Например, если $c < 0$, то неравенство $f(x) < g(x)$ равносильно неравенству $c \cdot f(x) > c \cdot g(x)$.

4. Применение строго монотонной функции к обеим частям неравенства.

   Это общее правило, включающее в себя, например, возведение в степень и логарифмирование.

   • Если функция $y=h(t)$ является строго возрастающей, то после ее применения к обеим частям неравенства знак неравенства сохраняется. Например, возведение в нечетную степень, логарифмирование по основанию больше 1.

     Если $f(x) > g(x)$, то $(f(x))^{3} > (g(x))^{3}$.

     Если $f(x) > g(x) > 0$ и $a > 1$, то $\log_a(f(x)) > \log_a(g(x))$.

   • Если функция $y=h(t)$ является строго убывающей, то после ее применения к обеим частям неравенства знак неравенства меняется на противоположный. Например, логарифмирование по основанию от 0 до 1.

     Если $f(x) > g(x) > 0$ и $0 < a < 1$, то $\log_a(f(x)) < \log_a(g(x))$.

5. Возведение обеих неотрицательных частей неравенства в четную степень.

   Если обе части неравенства $f(x)$ и $g(x)$ неотрицательны на всей области допустимых значений, то их можно возвести в четную натуральную степень, сохранив знак неравенства.

   Например, если $f(x) > g(x) \ge 0$, то неравенство равносильно $(f(x))^2 > (g(x))^2$. Если это условие не выполняется, преобразование не является равносильным.

Ответ:

Для получения неравенства, равносильного данному, можно использовать следующие преобразования:

• перенос слагаемых из одной части неравенства в другую с изменением их знака на противоположный;
• умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же положительное число (или выражение), сохраняя знак неравенства;
• умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же отрицательное число (или выражение), изменяя знак неравенства на противоположный;
• применение к обеим частям строго возрастающей функции (например, возведение в нечетную степень) с сохранением знака неравенства;
• применение к обеим частям строго убывающей функции с изменением знака неравенства на противоположный;
• возведение обеих неотрицательных частей неравенства в четную степень с сохранением знака.