Номер 4.6, страница 35 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 4. Равносильные уравнения и неравенства. Глава 1. Повторение и расширение сведений о функции - номер 4.6, страница 35.

4.6. Равносильны ли неравенства:

1) $(x-3)^2(x+4) \le 0 \text{ и } x+4 \le 0;$

2) $(x-3)^2(x+4) < 0 \text{ и } x+4 < 0;$

3) $\frac{x-2}{x-4} > 0 \text{ и } x-2 > 0;$

4) $\sqrt{x} \le 0 \text{ и } x^4 \le 0?$

1) $(x-3)^2(x+4) \le 0$ и $x+4 \le 0$

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Найдем решения для каждого неравенства.

Решим первое неравенство: $(x-3)^2(x+4) \le 0$.
Выражение $(x-3)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(x-3)^2 \ge 0$ для любого $x$.
Произведение $(x-3)^2(x+4)$ будет меньше или равно нулю в двух случаях:

1. Произведение равно нулю. Это происходит, когда один из множителей равен нулю:
   • $(x-3)^2 = 0 \Rightarrow x-3=0 \Rightarrow x=3$.
   • $x+4=0 \Rightarrow x=-4$.
2. Произведение строго меньше нуля. Так как $(x-3)^2 > 0$ при $x \neq 3$, то для выполнения неравенства $(x-3)^2(x+4) < 0$ необходимо, чтобы множитель $(x+4)$ был отрицательным:
   • $x+4 < 0 \Rightarrow x < -4$.

Объединяя эти случаи, получаем множество решений первого неравенства: $x \in (-\infty, -4] \cup \{3\}$.

Решим второе неравенство: $x+4 \le 0$.
$x \le -4$.
Множество решений второго неравенства: $x \in (-\infty, -4]$.

Сравним множества решений: $(-\infty, -4] \cup \{3\}$ и $(-\infty, -4]$.
Множества не совпадают, так как первое содержит точку $x=3$, а второе нет. Следовательно, неравенства не равносильны.
Ответ: нет.

2) $(x-3)^2(x+4) < 0$ и $x+4 < 0$

Найдем решения для каждого неравенства.

Решим первое неравенство: $(x-3)^2(x+4) < 0$.
Как и в предыдущем пункте, множитель $(x-3)^2$ всегда неотрицателен. Чтобы произведение было строго отрицательным, необходимо, чтобы $(x-3)^2$ был строго положительным, а $(x+4)$ — строго отрицательным.

• $(x-3)^2 > 0 \Rightarrow x \neq 3$.
• $x+4 < 0 \Rightarrow x < -4$.

Пересечением этих двух условий является $x < -4$.
Множество решений первого неравенства: $x \in (-\infty, -4)$.

Решим второе неравенство: $x+4 < 0$.
$x < -4$.
Множество решений второго неравенства: $x \in (-\infty, -4)$.

Сравним множества решений: $(-\infty, -4)$ и $(-\infty, -4)$.
Множества решений совпадают. Следовательно, неравенства равносильны.
Ответ: да.

3) $\frac{x-2}{x-4} > 0$ и $x-2 > 0$

Найдем решения для каждого неравенства.

Решим первое неравенство: $\frac{x-2}{x-4} > 0$.
Дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки (и знаменатель не равен нулю).

1. Оба положительны:
   • $x-2 > 0 \Rightarrow x > 2$.
   • $x-4 > 0 \Rightarrow x > 4$.
   Пересечение этих условий: $x > 4$.
2. Оба отрицательны:
   • $x-2 < 0 \Rightarrow x < 2$.
   • $x-4 < 0 \Rightarrow x < 4$.
   Пересечение этих условий: $x < 2$.

Объединяя оба случая, получаем множество решений первого неравенства: $x \in (-\infty, 2) \cup (4, \infty)$.

Решим второе неравенство: $x-2 > 0$.
$x > 2$.
Множество решений второго неравенства: $x \in (2, \infty)$.

Сравним множества решений: $(-\infty, 2) \cup (4, \infty)$ и $(2, \infty)$.
Множества не совпадают. Например, число $1$ является решением первого неравенства, но не является решением второго. Число $3$ является решением второго, но не первого. Следовательно, неравенства не равносильны.
Ответ: нет.

4) $\sqrt{x} \le 0$ и $x^4 \le 0$

Найдем решения для каждого неравенства.

Решим первое неравенство: $\sqrt{x} \le 0$.
Область допустимых значений для $\sqrt{x}$ — это $x \ge 0$.
По определению, арифметический квадратный корень $\sqrt{x}$ всегда является неотрицательным числом, то есть $\sqrt{x} \ge 0$.
Таким образом, неравенство $\sqrt{x} \le 0$ может выполняться только в одном случае: когда $\sqrt{x} = 0$.
$\sqrt{x} = 0 \Rightarrow x=0$.
Множество решений первого неравенства состоит из одного числа: $\{0\}$.

Решим второе неравенство: $x^4 \le 0$.
Любое действительное число, возведенное в четную степень (в данном случае в 4-ю), является неотрицательным, то есть $x^4 \ge 0$.
Таким образом, неравенство $x^4 \le 0$ может выполняться только в одном случае: когда $x^4=0$.
$x^4=0 \Rightarrow x=0$.
Множество решений второго неравенства также состоит из одного числа: $\{0\}$.

Сравним множества решений: $\{0\}$ и $\{0\}$.
Множества решений совпадают. Следовательно, неравенства равносильны.
Ответ: да.