Номер 4.8, страница 35 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.8. Какое из двух уравнений является следствием другого:

1) $\frac{x^2}{x} = 1$ и $x^2 = x$;

2) $x^2 + 1 = 1$ и $x(x - 1) = 0$;

3) $\frac{x^2}{x+8} = \frac{64}{x+8}$ и $x^2 = 64$;

4) $x^2 + \frac{1}{x+3} = 9 + \frac{1}{x+3}$ и $x^2 = 9$?

Чтобы определить, какое из двух уравнений является следствием другого, необходимо найти множества корней для каждого уравнения в паре. Уравнение (2) является следствием уравнения (1), если множество корней уравнения (1) является подмножеством множества корней уравнения (2), то есть каждый корень уравнения (1) также является корнем уравнения (2).

1) $\frac{x^2}{x} = 1$ и $x^2 = x$

Решим первое уравнение: $\frac{x^2}{x} = 1$. Область допустимых значений (ОДЗ) этого уравнения определяется условием неравенства знаменателя нулю: $x \neq 0$. На ОДЗ мы можем сократить дробь на $x$, получив равносильное уравнение $x=1$. Корень $x=1$ удовлетворяет ОДЗ. Таким образом, множество корней первого уравнения — {$1$}.

Решим второе уравнение: $x^2 = x$. Перенесем все члены в левую часть: $x^2 - x = 0$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x - 1) = 0$. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, откуда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Множество корней второго уравнения — {$0, 1$}.

Сравнивая множества корней, видим, что множество {$1$} является подмножеством множества {$0, 1$}. Следовательно, каждый корень первого уравнения является корнем второго.

Ответ: уравнение $x^2=x$ является следствием уравнения $\frac{x^2}{x}=1$.

2) $x^2 + 1 = 1$ и $x(x - 1) = 0$

Решим первое уравнение: $x^2 + 1 = 1$. Вычтем 1 из обеих частей уравнения: $x^2 = 0$. Единственным корнем этого уравнения является $x=0$. Множество корней первого уравнения — {$0$}.

Решим второе уравнение: $x(x - 1) = 0$. Корнями этого уравнения являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Множество корней второго уравнения — {$0, 1$}.

Множество корней первого уравнения {$0$} является подмножеством множества корней второго уравнения {$0, 1$}.

Ответ: уравнение $x(x-1)=0$ является следствием уравнения $x^2+1=1$.

3) $\frac{x^2}{x+8} = \frac{64}{x+8}$ и $x^2 = 64$

Решим первое уравнение: $\frac{x^2}{x+8} = \frac{64}{x+8}$. ОДЗ: $x + 8 \neq 0$, то есть $x \neq -8$. На ОДЗ можно умножить обе части на $(x+8)$, что приводит к уравнению $x^2 = 64$. Корни уравнения $x^2 = 64$ — это $x_1 = 8$ и $x_2 = -8$. Проверим корни по ОДЗ: $x=8$ удовлетворяет условию $x \neq -8$, а $x=-8$ — нет. Следовательно, у первого уравнения только один корень: $x=8$. Множество корней — {$8$}.

Решим второе уравнение: $x^2 = 64$. Корнями этого уравнения являются $x_1 = 8$ и $x_2 = -8$. Множество корней второго уравнения — {$8, -8$}.

Множество корней первого уравнения {$8$} является подмножеством множества корней второго уравнения {$8, -8$}.

Ответ: уравнение $x^2=64$ является следствием уравнения $\frac{x^2}{x+8} = \frac{64}{x+8}$.

4) $x^2 + \frac{1}{x+3} = 9 + \frac{1}{x+3}$ и $x^2 = 9$

Решим первое уравнение: $x^2 + \frac{1}{x+3} = 9 + \frac{1}{x+3}$. ОДЗ: $x + 3 \neq 0$, то есть $x \neq -3$. На ОДЗ можно вычесть $\frac{1}{x+3}$ из обеих частей, что приводит к уравнению $x^2 = 9$. Корни уравнения $x^2 = 9$ — это $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$. Проверим корни по ОДЗ: $x=3$ удовлетворяет условию $x \neq -3$, а $x=-3$ — нет. Следовательно, у первого уравнения только один корень: $x=3$. Множество корней — {$3$}.

Решим второе уравнение: $x^2 = 9$. Корнями этого уравнения являются $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$. Множество корней второго уравнения — {$3, -3$}.

Множество корней первого уравнения {$3$} является подмножеством множества корней второго уравнения {$3, -3$}.

Ответ: уравнение $x^2=9$ является следствием уравнения $x^2 + \frac{1}{x+3} = 9 + \frac{1}{x+3}$.