Номер 4.9, страница 35 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.9. Какое из двух неравенств является следствием другого:

1) $x < -4$ и $x < 1$;

2) $x \geq 5$ и $x > 5$;

3) $x^2 < 0$ и $x < 0$?

Чтобы определить, какое из двух неравенств является следствием другого, необходимо сравнить их множества решений. Неравенство А является следствием неравенства Б, если любое решение неравенства Б также является решением неравенства А. Это означает, что множество решений неравенства Б является подмножеством множества решений неравенства А.

1) $x < -4$ и $x < 1$

Рассмотрим два неравенства: $x < -4$ и $x < 1$.

Множество решений первого неравенства, $x < -4$, представляет собой числовой промежуток $(-\infty; -4)$.

Множество решений второго неравенства, $x < 1$, представляет собой числовой промежуток $(-\infty; 1)$.

Сравним эти множества. Любое число, которое меньше $-4$, очевидно, будет меньше и $1$. Таким образом, множество решений $(-\infty; -4)$ является подмножеством множества решений $(-\infty; 1)$.

Это означает, что из истинности неравенства $x < -4$ следует истинность неравенства $x < 1$.

Обратное утверждение неверно. Например, если взять $x=0$, то неравенство $x < 1$ будет верным ($0 < 1$), а неравенство $x < -4$ — неверным ($0 < -4$ — ложно).

Ответ: неравенство $x < 1$ является следствием неравенства $x < -4$.

2) $x \geq 5$ и $x > 5$

Рассмотрим два неравенства: $x \geq 5$ и $x > 5$.

Множество решений первого неравенства, $x \geq 5$, представляет собой числовой промежуток $[5; +\infty)$.

Множество решений второго неравенства, $x > 5$, представляет собой числовой промежуток $(5; +\infty)$.

Сравним эти множества. Любое число, которое строго больше $5$, также будет больше или равно $5$. Таким образом, множество решений $(5; +\infty)$ является подмножеством множества решений $[5; +\infty)$.

Это означает, что из истинности неравенства $x > 5$ следует истинность неравенства $x \geq 5$.

Обратное утверждение неверно. Число $x=5$ удовлетворяет неравенству $x \geq 5$ ($5 \geq 5$ — верно), но не удовлетворяет неравенству $x > 5$ ($5 > 5$ — ложно).

Ответ: неравенство $x \geq 5$ является следствием неравенства $x > 5$.

3) $x^2 < 0$ и $x < 0$

Рассмотрим два неравенства: $x^2 < 0$ и $x < 0$.

Множество решений первого неравенства, $x^2 < 0$. Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, то есть $x^2 \geq 0$ для любого действительного $x$. Следовательно, у неравенства $x^2 < 0$ нет решений. Его множество решений — пустое множество, $\emptyset$.

Множество решений второго неравенства, $x < 0$, представляет собой числовой промежуток $(-\infty; 0)$.

Проверим, является ли $x < 0$ следствием $x^2 < 0$. Для этого нужно, чтобы множество решений $x^2 < 0$ было подмножеством множества решений $x < 0$. Так как пустое множество $\emptyset$ является подмножеством любого множества, то $\emptyset \subset (-\infty; 0)$. Следовательно, $x < 0$ является следствием $x^2 < 0$. Логически это означает, что утверждение "если $x^2 < 0$, то $x < 0$" истинно, поскольку посылка ($x^2 < 0$) всегда ложна.

Проверим обратное: является ли $x^2 < 0$ следствием $x < 0$. Возьмем любое число, удовлетворяющее $x < 0$, например, $x=-2$. Для этого числа $x^2 = (-2)^2 = 4$. Неравенство $4 < 0$ ложно. Значит, из истинности $x < 0$ не следует истинность $x^2 < 0$.

Ответ: неравенство $x < 0$ является следствием неравенства $x^2 < 0$.