Номер 4.11, страница 35 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.11. Как может измениться (расшириться или сузиться) множество корней данного уравнения, если:

1) уравнение $(|x|+3)f(x)=2|x|+6$ заменить уравнением $f(x)=2$;

2) уравнение $\frac{f(x)}{x^2+1}=0$ заменить уравнением $f(x)=0$;

3) уравнение $(x+1)f(x)=x+1$ заменить уравнением $f(x)=1$;

4) уравнение $\frac{f(x)}{x+1}=\frac{g(x)}{x+1}$ заменить уравнением $f(x)=g(x)$;

5) уравнение $f(x)=g(x)$ заменить уравнением $(x+1)f(x)=(x+1)g(x)$?

1) Исходное уравнение: $(|x| + 3) f(x) = 2|x| + 6$. Правую часть можно разложить на множители: $2|x| + 6 = 2(|x| + 3)$. Тогда уравнение принимает вид: $(|x| + 3) f(x) = 2(|x| + 3)$. Чтобы перейти к уравнению $f(x) = 2$, необходимо разделить обе части исходного уравнения на выражение $(|x| + 3)$. Такое преобразование является равносильным, если выражение, на которое мы делим, не обращается в ноль. Поскольку $|x| \ge 0$ для любого действительного $x$, то $|x| + 3 \ge 3$. Следовательно, выражение $(|x| + 3)$ никогда не равно нулю. Таким образом, деление на $(|x| + 3)$ является равносильным преобразованием, не приводящим к потере или приобретению корней. Ответ: Множество корней не изменится.

2) Исходное уравнение: $\frac{f(x)}{x^2 + 1} = 0$. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Следовательно, исходное уравнение равносильно системе: $\begin{cases} f(x) = 0, \\ x^2 + 1 \neq 0. \end{cases}$ Рассмотрим второе условие системы: $x^2 + 1 \neq 0$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 1 \ge 1$. Значит, знаменатель $x^2 + 1$ никогда не обращается в ноль. Поэтому условие $x^2 + 1 \neq 0$ выполняется всегда. Таким образом, исходное уравнение равносильно уравнению $f(x) = 0$. Ответ: Множество корней не изменится.

3) Исходное уравнение: $(x + 1) f(x) = x + 1$. Новое уравнение: $f(x) = 1$. Переход от первого уравнения ко второму осуществляется делением обеих частей на $(x + 1)$. Это преобразование законно только при условии $x + 1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$. Рассмотрим случай, когда $x = -1$. Подставим это значение в исходное уравнение: $(-1 + 1) f(-1) = -1 + 1$ $0 \cdot f(-1) = 0$ $0 = 0$. Это верное равенство при любом значении $f(-1)$, если функция $f(x)$ определена в точке $x = -1$. Таким образом, $x = -1$ является корнем исходного уравнения (если входит в область определения $f(x)$). Теперь проверим $x = -1$ для нового уравнения $f(x) = 1$. Это значение будет корнем, только если $f(-1) = 1$. Если $f(x)$ определена в точке $x = -1$, но $f(-1) \neq 1$, то при переходе к новому уравнению происходит потеря корня $x = -1$. Следовательно, множество корней может сузиться. Ответ: Множество корней может сузиться. Может быть потерян корень $x = -1$, если он является корнем исходного уравнения, но при этом $f(-1) \neq 1$.

4) Исходное уравнение: $\frac{f(x)}{x + 1} = \frac{g(x)}{x + 1}$. Новое уравнение: $f(x) = g(x)$. Область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения определяется условием $x + 1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$. На этой ОДЗ исходное уравнение равносильно уравнению $f(x) = g(x)$. Таким образом, множество корней исходного уравнения — это множество корней уравнения $f(x) = g(x)$, из которого исключено значение $x = -1$. Новое уравнение $f(x) = g(x)$ не имеет ограничения $x \neq -1$. Если $x = -1$ является решением уравнения $f(x) = g(x)$ (то есть $f(-1) = g(-1)$), то это значение будет корнем нового уравнения, но не будет корнем исходного, так как не входит в его ОДЗ. В этом случае при замене уравнения произойдет приобретение нового корня $x = -1$. Следовательно, множество корней может расшириться. Ответ: Множество корней может расшириться. Может быть добавлен посторонний корень $x = -1$, если $f(-1) = g(-1)$.

5) Исходное уравнение: $f(x) = g(x)$. Новое уравнение: $(x + 1) f(x) = (x + 1) g(x)$. Новое уравнение получается из исходного умножением обеих частей на $(x + 1)$. Такое преобразование не приводит к потере корней, но может привести к появлению посторонних корней. Любой корень исходного уравнения $f(x_0) = g(x_0)$ является корнем и нового уравнения, так как $(x_0 + 1) f(x_0) = (x_0 + 1) g(x_0)$. Рассмотрим новое уравнение: $(x + 1) f(x) - (x + 1) g(x) = 0$ $(x + 1)(f(x) - g(x)) = 0$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, решениями нового уравнения являются корни уравнения $f(x) = g(x)$ (исходное уравнение), а также корень уравнения $x + 1 = 0$, то есть $x = -1$. Если $x = -1$ не является корнем исходного уравнения (то есть $f(-1) \neq g(-1)$), то при переходе к новому уравнению этот корень добавится. Следовательно, множество корней может расшириться. Ответ: Множество корней может расшириться. Может быть добавлен посторонний корень $x = -1$, если он не являлся корнем исходного уравнения.