Номер 1, страница 41 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 1. Повторение и расширение сведений о функции. Параграф 5. Метод интервалов. Вопросы - номер 1, страница 41.

Условие.

1. Всегда ли нули функции разбивают её область определения на промежутки знакопостоянства?

Решение 1.

Решение 5.

Нет, не всегда. Утверждение, что нули функции разбивают её область определения на промежутки знакопостоянства, справедливо только для непрерывных функций. Для таких функций, согласно теореме Больцано-Коши о промежуточном значении, смена знака возможна только при переходе через ноль.

Однако если функция имеет точки разрыва, она может изменить свой знак и в этих точках. Следовательно, для нахождения промежутков знакопостоянства произвольной функции необходимо учитывать не только её нули, но и точки разрыва.

Рассмотрим контрпример: функцию $f(x) = \frac{x-2}{x}$.
Её область определения: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Нуль функции: $f(x) = 0$ при $x-2 = 0$, то есть $x=2$.
Точка разрыва: $x=0$.

Точки $x=0$ (точка разрыва) и $x=2$ (нуль функции) разбивают числовую ось на три промежутка: $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$. Определим знак функции на каждом из них:
На промежутке $(-\infty; 0)$, например, при $x=-1$, имеем $f(-1) = \frac{-1-2}{-1} = 3 > 0$.
На промежутке $(0; 2)$, например, при $x=1$, имеем $f(1) = \frac{1-2}{1} = -1 < 0$.
На промежутке $(2; +\infty)$, например, при $x=3$, имеем $f(3) = \frac{3-2}{3} = \frac{1}{3} > 0$.

Как видно из примера, функция меняет знак не только в своём нуле ($x=2$), но и в точке разрыва ($x=0$). Таким образом, не только нули, но и точки разрыва разбивают область определения на промежутки знакопостоянства.

Также стоит отметить, что нуль функции не всегда означает смену знака. Например, у функции $f(x)=x^2$ есть нуль в точке $x=0$, но функция неотрицательна на всей области определения. Тем не менее, точка $x=0$ является границей двух промежутков знакопостоянства: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, на каждом из которых функция положительна.

Ответ: Нет, не всегда. Область определения функции на промежутки знакопостоянства разбивают как нули функции, так и её точки разрыва. Утверждение верно только для непрерывных функций.