Номер 1, страница 41 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2021 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, красный
ISBN: 978-5-09-087861-6
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Вопросы. § 5. Метод интервалов. Глава 1. Повторение и расширение сведений о функции - номер 1, страница 41.
№1 (с. 41)
Условие. №1 (с. 41)
скриншот условия

1. Всегда ли нули функции разбивают её область определения на промежутки знакопостоянства?
Решение 1. №1 (с. 41)

Решение 5. №1 (с. 41)
Нет, не всегда. Утверждение, что нули функции разбивают её область определения на промежутки знакопостоянства, справедливо только для непрерывных функций. Для таких функций, согласно теореме Больцано-Коши о промежуточном значении, смена знака возможна только при переходе через ноль.
Однако если функция имеет точки разрыва, она может изменить свой знак и в этих точках. Следовательно, для нахождения промежутков знакопостоянства произвольной функции необходимо учитывать не только её нули, но и точки разрыва.
Рассмотрим контрпример: функцию $f(x) = \frac{x-2}{x}$.
Её область определения: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Нуль функции: $f(x) = 0$ при $x-2 = 0$, то есть $x=2$.
Точка разрыва: $x=0$.
Точки $x=0$ (точка разрыва) и $x=2$ (нуль функции) разбивают числовую ось на три промежутка: $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$. Определим знак функции на каждом из них:
На промежутке $(-\infty; 0)$, например, при $x=-1$, имеем $f(-1) = \frac{-1-2}{-1} = 3 > 0$.
На промежутке $(0; 2)$, например, при $x=1$, имеем $f(1) = \frac{1-2}{1} = -1 < 0$.
На промежутке $(2; +\infty)$, например, при $x=3$, имеем $f(3) = \frac{3-2}{3} = \frac{1}{3} > 0$.
Как видно из примера, функция меняет знак не только в своём нуле ($x=2$), но и в точке разрыва ($x=0$). Таким образом, не только нули, но и точки разрыва разбивают область определения на промежутки знакопостоянства.
Также стоит отметить, что нуль функции не всегда означает смену знака. Например, у функции $f(x)=x^2$ есть нуль в точке $x=0$, но функция неотрицательна на всей области определения. Тем не менее, точка $x=0$ является границей двух промежутков знакопостоянства: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, на каждом из которых функция положительна.
Ответ: Нет, не всегда. Область определения функции на промежутки знакопостоянства разбивают как нули функции, так и её точки разрыва. Утверждение верно только для непрерывных функций.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 1 расположенного на странице 41 к учебнику 2021 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1 (с. 41), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.