Номер 1, страница 41 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Номировский Дмитрий Анатольевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2021

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2021 - 2025

Уровень обучения: базовый

Цвет обложки: синий, красный

ISBN: 978-5-09-087861-6

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Математика. Алгебра и начала математического анализа

Популярные ГДЗ в 10 классе

Вопросы. § 5. Метод интервалов. Глава 1. Повторение и расширение сведений о функции - номер 1, страница 41.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№1 (с. 41)
Условие. №1 (с. 41)
скриншот условия
Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Номировский Дмитрий Анатольевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2021, страница 41, номер 1, Условие

1. Всегда ли нули функции разбивают её область определения на промежутки знакопостоянства?

Решение 1. №1 (с. 41)
Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Номировский Дмитрий Анатольевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2021, страница 41, номер 1, Решение 1
Решение 5. №1 (с. 41)

Нет, не всегда. Утверждение, что нули функции разбивают её область определения на промежутки знакопостоянства, справедливо только для непрерывных функций. Для таких функций, согласно теореме Больцано-Коши о промежуточном значении, смена знака возможна только при переходе через ноль.

Однако если функция имеет точки разрыва, она может изменить свой знак и в этих точках. Следовательно, для нахождения промежутков знакопостоянства произвольной функции необходимо учитывать не только её нули, но и точки разрыва.

Рассмотрим контрпример: функцию $f(x) = \frac{x-2}{x}$.
Её область определения: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Нуль функции: $f(x) = 0$ при $x-2 = 0$, то есть $x=2$.
Точка разрыва: $x=0$.

Точки $x=0$ (точка разрыва) и $x=2$ (нуль функции) разбивают числовую ось на три промежутка: $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$. Определим знак функции на каждом из них:
На промежутке $(-\infty; 0)$, например, при $x=-1$, имеем $f(-1) = \frac{-1-2}{-1} = 3 > 0$.
На промежутке $(0; 2)$, например, при $x=1$, имеем $f(1) = \frac{1-2}{1} = -1 < 0$.
На промежутке $(2; +\infty)$, например, при $x=3$, имеем $f(3) = \frac{3-2}{3} = \frac{1}{3} > 0$.

Как видно из примера, функция меняет знак не только в своём нуле ($x=2$), но и в точке разрыва ($x=0$). Таким образом, не только нули, но и точки разрыва разбивают область определения на промежутки знакопостоянства.

Также стоит отметить, что нуль функции не всегда означает смену знака. Например, у функции $f(x)=x^2$ есть нуль в точке $x=0$, но функция неотрицательна на всей области определения. Тем не менее, точка $x=0$ является границей двух промежутков знакопостоянства: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, на каждом из которых функция положительна.

Ответ: Нет, не всегда. Область определения функции на промежутки знакопостоянства разбивают как нули функции, так и её точки разрыва. Утверждение верно только для непрерывных функций.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 1 расположенного на странице 41 к учебнику 2021 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1 (с. 41), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться