Номер 5.3, страница 41 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.3. Найдите множество решений неравенства:

1) $\frac{x - 8}{x + 7} < 0;$

2) $\frac{x + 9}{x - 11} > 0;$

3) $\frac{x + 5,2}{x - 1,4} \le 0;$

4) $\frac{5 - x}{x - 6} \ge 0;$

5) $\frac{(x + 15)(x - 2)}{x - 15} \ge 0;$

6) $\frac{x - 3,8}{(x + 5)(x - 16)} \le 0.$

1) Решим неравенство $\frac{x-8}{x+7} < 0$ методом интервалов.

Найдём нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $x-8=0 \Rightarrow x=8$.

Нуль знаменателя: $x+7=0 \Rightarrow x=-7$.

Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq -7$. Неравенство строгое, поэтому корень числителя $x=8$ также не является решением. На числовой прямой отметим выколотые точки $-7$ и $8$. Они разбивают прямую на три интервала. Определим знак выражения в каждом из них:

– на интервале $(-\infty; -7)$ (например, при $x=-10$): $\frac{-10-8}{-10+7} = \frac{-18}{-3} > 0$ (знак "+");

– на интервале $(-7; 8)$ (например, при $x=0$): $\frac{0-8}{0+7} = -\frac{8}{7} < 0$ (знак "-");

– на интервале $(8; +\infty)$ (например, при $x=10$): $\frac{10-8}{10+7} = \frac{2}{17} > 0$ (знак "+").

Так как неравенство имеет вид $< 0$, искомое множество решений — это интервал, где выражение отрицательно.

Ответ: $x \in (-7; 8)$.

2) Решим неравенство $\frac{x+9}{x-11} > 0$ методом интервалов.

Найдём нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $x+9=0 \Rightarrow x=-9$.

Нуль знаменателя: $x-11=0 \Rightarrow x=11$.

Знаменатель не может быть равен нулю ($x \neq 11$). Неравенство строгое, поэтому оба корня, $x=-9$ и $x=11$, являются выколотыми точками. Отметим их на числовой прямой и определим знаки выражения на получившихся интервалах:

– на интервале $(-\infty; -9)$ (например, при $x=-10$): $\frac{-10+9}{-10-11} = \frac{-1}{-21} > 0$ (знак "+");

– на интервале $(-9; 11)$ (например, при $x=0$): $\frac{0+9}{0-11} = -\frac{9}{11} < 0$ (знак "-");

– на интервале $(11; +\infty)$ (например, при $x=12$): $\frac{12+9}{12-11} = 21 > 0$ (знак "+").

Так как неравенство имеет вид $> 0$, искомое множество решений — это объединение интервалов, где выражение положительно.

Ответ: $x \in (-\infty; -9) \cup (11; +\infty)$.

3) Решим неравенство $\frac{x+5,2}{x-1,4} \leq 0$ методом интервалов.

Найдём нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $x+5,2=0 \Rightarrow x=-5,2$.

Нуль знаменателя: $x-1,4=0 \Rightarrow x=1,4$.

Знаменатель не может быть равен нулю ($x \neq 1,4$), поэтому точка $x=1,4$ — выколотая. Неравенство нестрогое, поэтому корень числителя $x=-5,2$ является решением (закрашенная точка). Отметим точки на числовой прямой и определим знаки выражения на интервалах:

– на интервале $(-\infty; -5,2]$ (например, при $x=-6$): $\frac{-6+5,2}{-6-1,4} > 0$ (знак "+");

– на интервале $[-5,2; 1,4)$ (например, при $x=0$): $\frac{0+5,2}{0-1,4} < 0$ (знак "-");

– на интервале $(1,4; +\infty)$ (например, при $x=2$): $\frac{2+5,2}{2-1,4} > 0$ (знак "+").

Так как неравенство имеет вид $\leq 0$, искомое множество решений — это интервал, где выражение отрицательно, включая корень числителя.

Ответ: $x \in [-5,2; 1,4)$.

4) Решим неравенство $\frac{5-x}{x-6} \geq 0$.

Для удобства приведем неравенство к стандартному виду, умножив числитель и знаменатель на $-1$. Знак неравенства при этом не изменится: $\frac{-(5-x)}{-(x-6)} \geq 0 \Rightarrow \frac{x-5}{6-x} \geq 0$. Умножим обе части на $-1$ и сменим знак: $\frac{x-5}{x-6} \leq 0$.

Найдём нули числителя и знаменателя: $x-5=0 \Rightarrow x=5$; $x-6=0 \Rightarrow x=6$.

Знаменатель не равен нулю ($x \neq 6$), точка выколотая. Неравенство нестрогое, корень числителя $x=5$ входит в решение. Отметим точки на числовой прямой и определим знаки выражения $\frac{x-5}{x-6}$:

– на интервале $(-\infty; 5]$ (например, при $x=0$): $\frac{0-5}{0-6} > 0$ (знак "+");

– на интервале $[5; 6)$ (например, при $x=5,5$): $\frac{5,5-5}{5,5-6} < 0$ (знак "-");

– на интервале $(6; +\infty)$ (например, при $x=7$): $\frac{7-5}{7-6} > 0$ (знак "+").

Решением неравенства $\frac{x-5}{x-6} \leq 0$ является интервал со знаком "-".

Ответ: $x \in [5; 6)$.

5) Решим неравенство $\frac{(x+15)(x-2)}{x-15} \geq 0$ методом интервалов.

Найдём нули числителя и знаменателя:

Нули числителя: $x+15=0 \Rightarrow x=-15$; $x-2=0 \Rightarrow x=2$.

Нуль знаменателя: $x-15=0 \Rightarrow x=15$.

Знаменатель не равен нулю ($x \neq 15$), точка выколотая. Неравенство нестрогое, корни числителя $x=-15$ и $x=2$ входят в решение. Отметим точки $-15$, $2$, $15$ на числовой прямой и определим знаки выражения:

– на интервале $(-\infty; -15]$ (например, при $x=-20$): $\frac{(-)(-)_ {(-)} < 0$ (знак "-");

– на интервале $[-15; 2]$ (например, при $x=0$): $\frac{(+)(-)}{(-)} > 0$ (знак "+");

– на интервале $[2; 15)$ (например, при $x=10$): $\frac{(+)(+)}{(-)} < 0$ (знак "-");

– на интервале $(15; +\infty)$ (например, при $x=20$): $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$ (знак "+").

Так как неравенство имеет вид $\geq 0$, искомое множество решений — это объединение интервалов со знаком "+".

Ответ: $x \in [-15; 2] \cup (15; +\infty)$.

6) Решим неравенство $\frac{x-3,8}{(x+5)(x-16)} \leq 0$ методом интервалов.

Найдём нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $x-3,8=0 \Rightarrow x=3,8$.

Нули знаменателя: $x+5=0 \Rightarrow x=-5$; $x-16=0 \Rightarrow x=16$.

Знаменатель не равен нулю ($x \neq -5, x \neq 16$), точки выколотые. Неравенство нестрогое, корень числителя $x=3,8$ входит в решение. Отметим точки $-5$, $3,8$, $16$ на числовой прямой и определим знаки выражения:

– на интервале $(-\infty; -5)$ (например, при $x=-10$): $\frac{(-)}{(-)(-)} < 0$ (знак "-");

– на интервале $(-5; 3,8]$ (например, при $x=0$): $\frac{(-)}{(+)(-)} > 0$ (знак "+");

– на интервале $[3,8; 16)$ (например, при $x=10$): $\frac{(+)}{(+)(-)} < 0$ (знак "-");

– на интервале $(16; +\infty)$ (например, при $x=20$): $\frac{(+)}{(+)(+)} > 0$ (знак "+").

Так как неравенство имеет вид $\leq 0$, искомое множество решений — это объединение интервалов со знаком "-".

Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup [3,8; 16)$.