Номер 5.4, страница 41 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.4. Найдите множество решений неравенства:

1) $\frac{x+3}{x-1} > 0;$

2) $\frac{x-4}{x} \ge 0;$

3) $\frac{(x-2)(x+1)}{x-4} < 0;$

4) $\frac{(x+1.2)(x-1.6)}{x-1.4} \le 0;$

5) $\frac{(3x-2)(4-x)}{(x+3)(x-1)} > 0;$

6) $\frac{(x+1)(3-x)}{(3x-2)(4-3x)} \ge 0.$

1)

Дано неравенство: $ \frac{x+3}{x-1} > 0 $.

Для решения этого неравенства используем метод интервалов. Сначала найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль. Эти точки разделят числовую прямую на интервалы, в каждом из которых знак выражения постоянен.

1. Найдем нули числителя: $x + 3 = 0 \implies x = -3$.

2. Найдем нули знаменателя (точки, где выражение не определено): $x - 1 = 0 \implies x = 1$.

3. Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое (знак >), обе точки будут "выколотыми", то есть не войдут в решение. Точки -3 и 1 делят прямую на три интервала: $(-\infty; -3)$, $(-3; 1)$ и $(1; +\infty)$.

4. Определим знак выражения в каждом интервале.

• Для интервала $(1; +\infty)$ возьмем пробную точку $x=2$. Подставляем в выражение: $\frac{2+3}{2-1} = \frac{5}{1} = 5 > 0$. Знак "+".
• Для интервала $(-3; 1)$ возьмем пробную точку $x=0$. Подставляем: $\frac{0+3}{0-1} = -3 < 0$. Знак "-".
• Для интервала $(-\infty; -3)$ возьмем пробную точку $x=-4$. Подставляем: $\frac{-4+3}{-4-1} = \frac{-1}{-5} = \frac{1}{5} > 0$. Знак "+".

5. Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля (знак "+"). Это интервалы $(-\infty; -3)$ и $(1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$

2)

Дано неравенство: $ \frac{x-4}{x} \ge 0 $.

1. Найдем нули числителя: $x - 4 = 0 \implies x = 4$.

2. Найдем нули знаменателя: $x = 0$.

3. Отметим точки на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое (знак $\ge$), нуль числителя ($x=4$) будет "закрашенной" точкой (включается в решение). Нуль знаменателя ($x=0$) всегда "выколотый", так как на ноль делить нельзя. Точки 0 и 4 делят прямую на интервалы: $(-\infty; 0)$, $(0; 4]$ и $[4; +\infty)$.

4. Определим знак выражения в каждом интервале.

• Для интервала $[4; +\infty)$ возьмем $x=5$: $\frac{5-4}{5} = \frac{1}{5} > 0$. Знак "+".
• Для интервала $(0; 4]$ возьмем $x=1$: $\frac{1-4}{1} = -3 < 0$. Знак "-".
• Для интервала $(-\infty; 0)$ возьмем $x=-1$: $\frac{-1-4}{-1} = \frac{-5}{-1} = 5 > 0$. Знак "+".

5. Нас интересуют интервалы, где выражение больше или равно нулю (знак "+"). Это $(-\infty; 0)$ и $[4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup [4; +\infty)$

3)

Дано неравенство: $ \frac{(x-2)(x+1)}{x-4} < 0 $.

1. Найдем нули числителя: $(x-2)(x+1) = 0 \implies x_1 = 2, x_2 = -1$.

2. Найдем нули знаменателя: $x-4 = 0 \implies x_3 = 4$.

3. Отметим точки на числовой прямой. Неравенство строгое (<), поэтому все точки (-1, 2, 4) будут "выколотыми". Они делят прямую на интервалы: $(-\infty; -1)$, $(-1; 2)$, $(2; 4)$ и $(4; +\infty)$.

4. Определим знак выражения в каждом интервале.

• Для интервала $(4; +\infty)$ возьмем $x=5$: $\frac{(5-2)(5+1)}{5-4} = \frac{3 \cdot 6}{1} > 0$. Знак "+".
• Для интервала $(2; 4)$ возьмем $x=3$: $\frac{(3-2)(3+1)}{3-4} = \frac{1 \cdot 4}{-1} < 0$. Знак "-".
• Для интервала $(-1; 2)$ возьмем $x=0$: $\frac{(0-2)(0+1)}{0-4} = \frac{-2 \cdot 1}{-4} > 0$. Знак "+".
• Для интервала $(-\infty; -1)$ возьмем $x=-2$: $\frac{(-2-2)(-2+1)}{-2-4} = \frac{(-4) \cdot (-1)}{-6} < 0$. Знак "-".

5. Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля (знак "-"). Это $(-\infty; -1)$ и $(2; 4)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (2; 4)$

4)

Дано неравенство: $ \frac{(x+1,2)(x-1,6)}{x-1,4} \le 0 $.

1. Найдем нули числителя: $(x+1,2)(x-1,6)=0 \implies x_1 = -1,2, x_2 = 1,6$.

2. Найдем нули знаменателя: $x-1,4 = 0 \implies x_3 = 1,4$.

3. Отметим точки на числовой прямой. Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому нули числителя ($x=-1,2$ и $x=1,6$) будут "закрашенными". Нуль знаменателя ($x=1,4$) всегда "выколотый". Точки, в порядке возрастания: -1,2; 1,4; 1,6. Они делят прямую на интервалы: $(-\infty; -1,2]$, $[-1,2; 1,4)$, $(1,4; 1,6]$ и $[1,6; +\infty)$.

4. Определим знак выражения в каждом интервале.

• Для интервала $[1,6; +\infty)$ возьмем $x=2$: $\frac{(2+1,2)(2-1,6)}{2-1,4} = \frac{3,2 \cdot 0,4}{0,6} > 0$. Знак "+".
• Для интервала $(1,4; 1,6]$ возьмем $x=1,5$: $\frac{(1,5+1,2)(1,5-1,6)}{1,5-1,4} = \frac{2,7 \cdot (-0,1)}{0,1} < 0$. Знак "-".
• Для интервала $[-1,2; 1,4)$ возьмем $x=0$: $\frac{(0+1,2)(0-1,6)}{0-1,4} = \frac{1,2 \cdot (-1,6)}{-1,4} > 0$. Знак "+".
• Для интервала $(-\infty; -1,2]$ возьмем $x=-2$: $\frac{(-2+1,2)(-2-1,6)}{-2-1,4} = \frac{(-0,8) \cdot (-3,6)}{-3,4} < 0$. Знак "-".

5. Нас интересуют интервалы, где выражение меньше или равно нулю (знак "-"). Это $(-\infty; -1,2]$ и $(1,4; 1,6]$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1,2] \cup (1,4; 1,6]$

5)

Дано неравенство: $ \frac{(3x-2)(4-x)}{(x+3)(x-1)} > 0 $.

1. Преобразуем неравенство, чтобы коэффициенты при $x$ были положительными. Множитель $(4-x)$ равен $-(x-4)$.

$ \frac{(3x-2)(-(x-4))}{(x+3)(x-1)} > 0 $

Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$ \frac{(3x-2)(x-4)}{(x+3)(x-1)} < 0 $

2. Найдем нули числителя: $(3x-2)(x-4)=0 \implies x_1 = 2/3, x_2 = 4$.

3. Найдем нули знаменателя: $(x+3)(x-1)=0 \implies x_3 = -3, x_4 = 1$.

4. Отметим точки на числовой прямой. Неравенство строгое (<), поэтому все точки (-3, 2/3, 1, 4) будут "выколотыми". Они делят прямую на интервалы: $(-\infty; -3)$, $(-3; 2/3)$, $(2/3; 1)$, $(1; 4)$ и $(4; +\infty)$.

5. Определим знак выражения $ \frac{(3x-2)(x-4)}{(x+3)(x-1)} $ в каждом интервале.

• Для интервала $(4; +\infty)$ возьмем $x=5$: $\frac{(15-2)(5-4)}{(5+3)(5-1)} = \frac{13 \cdot 1}{8 \cdot 4} > 0$. Знак "+".
• Для интервала $(1; 4)$ возьмем $x=2$: $\frac{(6-2)(2-4)}{(2+3)(2-1)} = \frac{4 \cdot (-2)}{5 \cdot 1} < 0$. Знак "-".
• Для интервала $(2/3; 1)$ возьмем $x=0,8$: $\frac{(2,4-2)(0,8-4)}{(0,8+3)(0,8-1)} = \frac{0,4 \cdot (-3,2)}{3,8 \cdot (-0,2)} > 0$. Знак "+".
• Для интервала $(-3; 2/3)$ возьмем $x=0$: $\frac{(-2)(-4)}{3(-1)} < 0$. Знак "-".
• Для интервала $(-\infty; -3)$ возьмем $x=-4$: $\frac{(-12-2)(-4-4)}{(-4+3)(-4-1)} = \frac{(-14)(-8)}{(-1)(-5)} > 0$. Знак "+".

6. Нас интересуют интервалы, где преобразованное выражение меньше нуля (знак "-"). Это $(-3; 2/3)$ и $(1; 4)$.

Ответ: $x \in (-3; 2/3) \cup (1; 4)$

6)

Дано неравенство: $ \frac{(x+1)(3-x)}{(3x-2)(4-3x)} \ge 0 $.

1. Преобразуем множители с отрицательными коэффициентами при $x$: $(3-x) = -(x-3)$ и $(4-3x) = -(3x-4)$.

$ \frac{(x+1)(-(x-3))}{(3x-2)(-(3x-4))} \ge 0 $

Минусы в числителе и знаменателе сокращаются:

$ \frac{(x+1)(x-3)}{(3x-2)(3x-4)} \ge 0 $

2. Найдем нули числителя: $(x+1)(x-3)=0 \implies x_1 = -1, x_2 = 3$.

3. Найдем нули знаменателя: $(3x-2)(3x-4)=0 \implies x_3 = 2/3, x_4 = 4/3$.

4. Отметим точки на числовой прямой. Неравенство нестрогое ($\ge$), поэтому нули числителя ($x=-1$ и $x=3$) будут "закрашенными". Нули знаменателя ($x=2/3$ и $x=4/3$) всегда "выколотые". Точки в порядке возрастания: -1, 2/3, 4/3, 3.

5. Определим знак выражения $ \frac{(x+1)(x-3)}{(3x-2)(3x-4)} $ в каждом интервале.

• Для интервала $[3; +\infty)$ возьмем $x=4$: $\frac{(4+1)(4-3)}{(12-2)(12-4)} = \frac{5 \cdot 1}{10 \cdot 8} > 0$. Знак "+".
• Для интервала $(4/3; 3]$ возьмем $x=2$: $\frac{(2+1)(2-3)}{(6-2)(6-4)} = \frac{3 \cdot (-1)}{4 \cdot 2} < 0$. Знак "-".
• Для интервала $(2/3; 4/3)$ возьмем $x=1$: $\frac{(1+1)(1-3)}{(3-2)(3-4)} = \frac{2 \cdot (-2)}{1 \cdot (-1)} > 0$. Знак "+".
• Для интервала $[-1; 2/3)$ возьмем $x=0$: $\frac{(0+1)(0-3)}{(0-2)(0-4)} = \frac{1 \cdot (-3)}{(-2) \cdot (-4)} < 0$. Знак "-".
• Для интервала $(-\infty; -1]$ возьмем $x=-2$: $\frac{(-2+1)(-2-3)}{(-6-2)(-6-4)} = \frac{(-1)(-5)}{(-8)(-10)} > 0$. Знак "+".

6. Нас интересуют интервалы, где выражение больше или равно нулю (знак "+"). Это $(-\infty; -1]$, $(2/3; 4/3)$ и $[3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup (2/3; 4/3) \cup [3; +\infty)$