Номер 5.11, страница 42 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.11. Решите неравенство:

1) $x^2(x+1)(x-4) > 0;$

2) $|x+2|(x-3)(x-5) \ge 0.$

1) Решим неравенство $x^2(x+1)(x-4) > 0$ методом интервалов.

Сначала найдем корни (нули) левой части неравенства, приравняв ее к нулю:

$x^2(x+1)(x-4) = 0$

Корнями уравнения являются точки $x_1 = -1$, $x_2 = 0$ и $x_3 = 4$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Поскольку неравенство строгое ($>0$), все точки будут "выколотыми", то есть не войдут в решение.

Корень $x=0$ соответствует множителю $x^2$, который имеет четную степень (2). Это означает, что при переходе через точку $x=0$ на числовой прямой знак выражения меняться не будет. Корни $x=-1$ и $x=4$ имеют нечетную кратность (1), поэтому при переходе через эти точки знак будет меняться.

Определим знак выражения на каждом из полученных интервалов:

• Возьмем точку из крайнего правого интервала $(4; +\infty)$, например $x=5$:
  $5^2(5+1)(5-4) = 25 \cdot 6 \cdot 1 = 150$, что больше нуля. Ставим знак "+".
• При переходе через точку $x=4$ (нечетная кратность) знак меняется на "-". Интервал $(0; 4)$ имеет знак "-".
• При переходе через точку $x=0$ (четная кратность) знак не меняется. Интервал $(-1; 0)$ также имеет знак "-".
• При переходе через точку $x=-1$ (нечетная кратность) знак меняется на "+". Интервал $(-\infty; -1)$ имеет знак "+".

Получаем следующую расстановку знаков на числовой прямой:
` + ` на $(-\infty; -1)$, ` - ` на $(-1; 0)$, ` - ` на $(0; 4)$, ` + ` на $(4; +\infty)$.

Нас интересуют интервалы, где выражение строго больше нуля (знак "+").

Это объединение интервалов $(-\infty; -1)$ и $(4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (4; +\infty)$.

2) Решим неравенство $|x+2|(x-3)(x-5) \geq 0$.

Решим это неравенство методом интервалов.

Найдем корни левой части, приравняв ее к нулю:

$|x+2|(x-3)(x-5) = 0$

Корнями являются точки $x_1 = -2$, $x_2 = 3$ и $x_3 = 5$.

Так как неравенство нестрогое ($\geq 0$), все найденные корни являются частью решения, и на числовой прямой мы отметим их закрашенными точками.

Множитель $|x+2|$ всегда неотрицателен ($|x+2| \geq 0$). Он равен нулю в точке $x=-2$ и положителен во всех остальных точках. Это означает, что при переходе через точку $x=-2$ знак всего выражения меняться не будет (аналогично корню четной кратности). Корни $x=3$ и $x=5$ имеют нечетную кратность, поэтому при переходе через них знак будет меняться.

Определим знаки выражения на интервалах:

• Возьмем точку из крайнего правого интервала $(5; +\infty)$, например $x=6$:
  $|6+2|(6-3)(6-5) = 8 \cdot 3 \cdot 1 = 24$, что больше нуля. Ставим знак "+".
• При переходе через точку $x=5$ (нечетная кратность) знак меняется на "-". Интервал $(3; 5)$ имеет знак "-".
• При переходе через точку $x=3$ (нечетная кратность) знак меняется на "+". Интервал $(-2; 3)$ имеет знак "+".
• При переходе через точку $x=-2$ (аналог четной кратности) знак не меняется. Интервал $(-\infty; -2)$ также имеет знак "+".

Нас интересуют промежутки, где выражение больше или равно нулю ($\geq 0$). Это промежутки со знаком "+" и сами точки-корни.

Решением является объединение промежутков $(-\infty; -2]$, $[-2; 3]$ и $[5; +\infty)$.

Промежутки $(-\infty; -2]$ и $[-2; 3]$ можно объединить в один: $(-\infty; 3]$.

Таким образом, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in (-\infty; 3] \cup [5; +\infty)$.