Номер 5.14, страница 42 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.14. Решите неравенство:

1) $\frac{1}{x+2} \le 1$

2) $\frac{5x+8}{4-x} < 2$

3) $\frac{2}{x+3} \ge \frac{1}{x-1}$

1) $\frac{1}{x+2} \le 1$

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю:
$x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$.

Теперь решим неравенство. Перенесем 1 в левую часть:
$\frac{1}{x+2} - 1 \le 0$

Приведем к общему знаменателю:
$\frac{1 - (x+2)}{x+2} \le 0$
$\frac{1 - x - 2}{x+2} \le 0$
$\frac{-x - 1}{x+2} \le 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$\frac{x+1}{x+2} \ge 0$

Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:
Нуль числителя: $x + 1 = 0 \implies x = -1$. Точка будет закрашенной, так как неравенство нестрогое ($\ge$).
Нуль знаменателя: $x + 2 = 0 \implies x = -2$. Точка будет выколотой, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Отметим точки -2 и -1 на числовой оси и определим знаки выражения $\frac{x+1}{x+2}$ в каждом из получившихся интервалов: $(-\infty; -2)$, $(-2; -1]$ и $[-1; +\infty)$.

• При $x < -2$ (например, $x=-3$): $\frac{-3+1}{-3+2} = \frac{-2}{-1} = 2 > 0$. Знак "+".
• При $-2 < x < -1$ (например, $x=-1.5$): $\frac{-1.5+1}{-1.5+2} = \frac{-0.5}{0.5} = -1 < 0$. Знак "-".
• При $x > -1$ (например, $x=0$): $\frac{0+1}{0+2} = \frac{1}{2} > 0$. Знак "+".

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю (знак "+"). Это интервалы $(-\infty; -2)$ и $[-1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup [-1; +\infty)$.

2) $\frac{5x+8}{4-x} < 2$

Найдем ОДЗ: знаменатель не равен нулю.
$4 - x \neq 0 \implies x \neq 4$.

Перенесем 2 в левую часть неравенства:
$\frac{5x+8}{4-x} - 2 < 0$

Приведем к общему знаменателю:
$\frac{5x+8 - 2(4-x)}{4-x} < 0$
$\frac{5x+8 - 8 + 2x}{4-x} < 0$
$\frac{7x}{4-x} < 0$

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:
Нуль числителя: $7x = 0 \implies x = 0$.
Нуль знаменателя: $4 - x = 0 \implies x = 4$.
Обе точки будут выколотыми, так как неравенство строгое (<) и $x \neq 4$ из ОДЗ.

Отметим точки 0 и 4 на числовой оси. Они разбивают ось на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 4)$ и $(4; +\infty)$. Определим знаки выражения $\frac{7x}{4-x}$ в каждом интервале.

• При $x < 0$ (например, $x=-1$): $\frac{7(-1)}{4-(-1)} = \frac{-7}{5} < 0$. Знак "-".
• При $0 < x < 4$ (например, $x=1$): $\frac{7(1)}{4-1} = \frac{7}{3} > 0$. Знак "+".
• При $x > 4$ (например, $x=5$): $\frac{7(5)}{4-5} = \frac{35}{-1} = -35 < 0$. Знак "-".

Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля (знак "-"). Это интервалы $(-\infty; 0)$ и $(4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (4; +\infty)$.

3) $\frac{2}{x+3} \ge \frac{1}{x-1}$

Найдем ОДЗ. Знаменатели не могут быть равны нулю:
$x+3 \neq 0 \implies x \neq -3$
$x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$

Перенесем все члены в левую часть:
$\frac{2}{x+3} - \frac{1}{x-1} \ge 0$

Приведем к общему знаменателю $(x+3)(x-1)$:
$\frac{2(x-1) - 1(x+3)}{(x+3)(x-1)} \ge 0$

Упростим числитель:
$\frac{2x - 2 - x - 3}{(x+3)(x-1)} \ge 0$
$\frac{x - 5}{(x+3)(x-1)} \ge 0$

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:
Нуль числителя: $x - 5 = 0 \implies x = 5$. Точка закрашенная ($\ge$).
Нули знаменателя: $x + 3 = 0 \implies x = -3$ и $x - 1 = 0 \implies x = 1$. Обе точки выколотые (ОДЗ).

Отметим точки -3, 1 и 5 на числовой оси. Они разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty; -3)$, $(-3; 1)$, $(1; 5]$ и $[5; +\infty)$. Определим знаки выражения $\frac{x-5}{(x+3)(x-1)}$ в каждом интервале.

• При $x < -3$ (например, $x=-4$): $\frac{-4-5}{(-4+3)(-4-1)} = \frac{-9}{(-1)(-5)} < 0$. Знак "-".
• При $-3 < x < 1$ (например, $x=0$): $\frac{0-5}{(0+3)(0-1)} = \frac{-5}{-3} > 0$. Знак "+".
• При $1 < x < 5$ (например, $x=2$): $\frac{2-5}{(2+3)(2-1)} = \frac{-3}{5} < 0$. Знак "-".
• При $x > 5$ (например, $x=6$): $\frac{6-5}{(6+3)(6-1)} = \frac{1}{45} > 0$. Знак "+".

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю (знак "+"). Это интервалы $(-3; 1)$ и $[5; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-3; 1) \cup [5; +\infty)$.