Страница 42 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.6. Найдите множество решений неравенства:

1) $(x^2 - 64)(x^2 - 10x + 9) \geq 0;$

2) $(x^2 + 7x)(x^2 - 7x + 6) < 0;$

3) $\frac{x^2 - x - 12}{x^2 - 36} \leq 0;$

4) $\frac{3x^2 + 2x - 1}{4x^2 - x - 3} \geq 0.$

1) Решим неравенство $(x^2 - 64)(x^2 - 10x + 9) \ge 0$.

Для решения этого неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(x^2 - 64)(x^2 - 10x + 9) = 0$.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1. $x^2 - 64 = 0 \implies x^2 = 64 \implies x_1 = 8, x_2 = -8$.

2. $x^2 - 10x + 9 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 10, а их произведение равно 9. Следовательно, $x_3 = 1, x_4 = 9$.

Разложим неравенство на множители: $(x - 8)(x + 8)(x - 1)(x - 9) \ge 0$.

Отметим найденные корни на числовой прямой в порядке возрастания: -8, 1, 8, 9. Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), все точки будут включены в решение.

Эти точки разбивают числовую прямую на пять интервалов: $(-\infty; -8]$, $[-8; 1]$, $[1; 8]$, $[8; 9]$, $[9; \infty)$.

Определим знак выражения в каждом интервале:

• При $x > 9$ (например, $x=10$): $(+)(+)(+)(+) > 0$. Интервал подходит.
• При $8 < x < 9$ (например, $x=8.5$): $(+)(+)(+)(-) < 0$. Интервал не подходит.
• При $1 < x < 8$ (например, $x=2$): $(-)(+)(+)(-) > 0$. Интервал подходит.
• При $-8 < x < 1$ (например, $x=0$): $(-)(+)(-)(-) < 0$. Интервал не подходит.
• При $x < -8$ (например, $x=-10$): $(-)(-)(-)(-) > 0$. Интервал подходит.

Объединяя подходящие интервалы, получаем множество решений.

Ответ: $x \in (-\infty; -8] \cup [1; 8] \cup [9; \infty)$.

2) Решим неравенство $(x^2 + 7x)(x^2 - 7x + 6) < 0$.

Используем метод интервалов. Найдем корни уравнения $(x^2 + 7x)(x^2 - 7x + 6) = 0$.

1. $x^2 + 7x = 0 \implies x(x + 7) = 0 \implies x_1 = 0, x_2 = -7$.

2. $x^2 - 7x + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение 6. Следовательно, $x_3 = 1, x_4 = 6$.

Разложим неравенство на множители: $x(x + 7)(x - 1)(x - 6) < 0$.

Отметим корни на числовой прямой в порядке возрастания: -7, 0, 1, 6. Так как неравенство строгое (<), все точки будут выколотыми (не входят в решение).

Точки разбивают прямую на интервалы: $(-\infty; -7)$, $(-7; 0)$, $(0; 1)$, $(1; 6)$, $(6; \infty)$.

Определим знак выражения в каждом интервале:

• При $x > 6$ (например, $x=7$): $(+)(+)(+)(+) > 0$.
• При $1 < x < 6$ (например, $x=2$): $(+)(+)(+)(-) < 0$. Интервал подходит.
• При $0 < x < 1$ (например, $x=0.5$): $(+)(+)(-)(-) > 0$.
• При $-7 < x < 0$ (например, $x=-1$): $(-)(+)(-)(-) < 0$. Интервал подходит.
• При $x < -7$ (например, $x=-8$): $(-)(-)(-)(-) > 0$.

Объединяя подходящие интервалы, получаем решение.

Ответ: $x \in (-7; 0) \cup (1; 6)$.

3) Решим неравенство $\frac{x^2 - x - 12}{x^2 - 36} \le 0$.

Решаем методом интервалов. Сначала разложим числитель и знаменатель на множители.

Найдем корни числителя: $x^2 - x - 12 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 4, x_2 = -3$. Эти точки входят в решение, так как неравенство нестрогое.

Найдем корни знаменателя: $x^2 - 36 = 0 \implies x^2 = 36 \implies x_3 = 6, x_4 = -6$. Эти точки не входят в решение, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Перепишем неравенство в виде: $\frac{(x - 4)(x + 3)}{(x - 6)(x + 6)} \le 0$.

Отметим точки на числовой прямой: -6, -3, 4, 6. Точки -3 и 4 – закрашенные, а -6 и 6 – выколотые.

Точки разбивают прямую на интервалы: $(-\infty; -6)$, $(-6; -3]$, $[-3; 4]$, $[4; 6)$, $(6; \infty)$.

Определим знаки дроби в интервалах:

• При $x > 6$ (например, $x=7$): $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$.
• При $4 < x < 6$ (например, $x=5$): $\frac{(+)(+)}{(-)(+)} < 0$. Интервал подходит.
• При $-3 < x < 4$ (например, $x=0$): $\frac{(-)(+)}{(-)(+)} > 0$.
• При $-6 < x < -3$ (например, $x=-4$): $\frac{(-)(-)}{(-)(+)} < 0$. Интервал подходит.
• При $x < -6$ (например, $x=-7$): $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0$.

Объединяем интервалы, где выражение меньше или равно нулю.

Ответ: $x \in (-6; -3] \cup [4; 6)$.

4) Решим неравенство $\frac{3x^2 + 2x - 1}{4x^2 - x - 3} \ge 0$.

Решаем методом интервалов. Найдем корни числителя и знаменателя.

Корни числителя $3x^2 + 2x - 1 = 0$.

Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.

$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 \pm 4}{6}$.

$x_1 = \frac{-2 - 4}{6} = -1$, $x_2 = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{1}{3}$. Эти точки входят в решение.

Корни знаменателя $4x^2 - x - 3 = 0$.

Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49$.

$x_{3,4} = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{1 \pm 7}{8}$.

$x_3 = \frac{1 - 7}{8} = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4}$, $x_4 = \frac{1 + 7}{8} = 1$. Эти точки не входят в решение.

Разложим неравенство на множители: $\frac{3(x - 1/3)(x + 1)}{4(x - 1)(x + 3/4)} \ge 0$, что эквивалентно $\frac{(3x - 1)(x + 1)}{(x - 1)(4x + 3)} \ge 0$.

Отметим точки на числовой прямой в порядке возрастания: -1, -3/4, 1/3, 1. Точки -1 и 1/3 – закрашенные, -3/4 и 1 – выколотые.

Определим знаки в интервалах:

• При $x > 1$ (например, $x=2$): $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$. Интервал подходит.
• При $1/3 < x < 1$ (например, $x=0.5$): $\frac{(+)(+)}{(-)(+)} < 0$.
• При $-3/4 < x < 1/3$ (например, $x=0$): $\frac{(-)(+)}{(-)(+)} > 0$. Интервал подходит.
• При $-1 < x < -3/4$ (например, $x=-0.8$): $\frac{(-)(+)}{(-)(-)} < 0$.
• При $x < -1$ (например, $x=-2$): $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0$. Интервал подходит.

Объединяем интервалы, где выражение больше или равно нулю.

Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup (-\frac{3}{4}; \frac{1}{3}] \cup (1; \infty)$.

5.7. Решите неравенство:

1) $(2x + 1)(x - 3)(x^2 + 4) < 0;$

2) $(2 - x)(3x + 5)(x^2 - x + 1) > 0;$

3) $(3x^2 - 5x - 2)(2x^2 + x + 1) < 0;$

4) $(4 - x)(3x + 1)(x^4 + x^2 + 1) < 0.$

1) Рассмотрим неравенство $(2x + 1)(x - 3)(x^2 + 4) < 0$.
Множитель $(x^2 + 4)$ всегда положителен, так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, следовательно $x^2 + 4 \ge 4$.
Поскольку мы делим неравенство на строго положительное число, знак неравенства не меняется. Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству: $(2x + 1)(x - 3) < 0$.
Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни соответствующего уравнения $(2x + 1)(x - 3) = 0$:
$2x + 1 = 0 \Rightarrow x_1 = -1/2$
$x - 3 = 0 \Rightarrow x_2 = 3$
Графиком функции $y = (2x + 1)(x - 3)$ является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ равен 2, что больше нуля). Следовательно, значения функции отрицательны между корнями.
Таким образом, решение неравенства есть интервал $(-0.5; 3)$.
Ответ: $(-0.5; 3)$.

2) Рассмотрим неравенство $(2 - x)(3x + 5)(x^2 - x + 1) > 0$.
Исследуем множитель $(x^2 - x + 1)$. Это квадратный трехчлен. Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.
Так как дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a = 1 > 0$, выражение $x^2 - x + 1$ всегда положительно при любом $x$.
Разделив обе части неравенства на положительное выражение $(x^2 - x + 1)$, получим равносильное неравенство: $(2 - x)(3x + 5) > 0$.
Для удобства умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $-(2 - x)(3x + 5) < 0$
$(x - 2)(3x + 5) < 0$.
Найдем корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -5/3$.
Графиком функции $y = (x - 2)(3x + 5)$ является парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает отрицательные значения между корнями.
Решением является интервал $(-5/3; 2)$.
Ответ: $(-5/3; 2)$.

3) Рассмотрим неравенство $(3x^2 - 5x - 2)(2x^2 + x + 1) < 0$.
Исследуем второй множитель $(2x^2 + x + 1)$. Дискриминант этого квадратного трехчлена: $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 - 8 = -7$.
Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a = 2 > 0$, выражение $2x^2 + x + 1$ всегда положительно.
Следовательно, исходное неравенство равносильно неравенству: $3x^2 - 5x - 2 < 0$.
Найдем корни уравнения $3x^2 - 5x - 2 = 0$.
Дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 7}{6}$.
$x_1 = \frac{5 - 7}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$.
$x_2 = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2$.
Парабола $y = 3x^2 - 5x - 2$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает отрицательные значения на интервале между корнями.
Решением является интервал $(-1/3; 2)$.
Ответ: $(-1/3; 2)$.

4) Рассмотрим неравенство $(4 - x)(3x + 1)(x^4 + x^2 + 1) < 0$.
Исследуем множитель $(x^4 + x^2 + 1)$. Сделаем замену $y = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то $y \ge 0$. Выражение примет вид $y^2 + y + 1$. Дискриминант этого трехчлена относительно $y$ равен $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент положителен, выражение $y^2 + y + 1$ всегда положительно. Значит, и $x^4 + x^2 + 1$ всегда больше нуля.
Разделив на $(x^4 + x^2 + 1)$, получим равносильное неравенство: $(4 - x)(3x + 1) < 0$.
Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства: $(x - 4)(3x + 1) > 0$.
Найдем корни: $x_1 = 4$, $x_2 = -1/3$.
Парабола $y = (x - 4)(3x + 1)$ имеет ветви вверх, поэтому она принимает положительные значения вне интервала между корнями.
Решением является объединение интервалов $x < -1/3$ и $x > 4$.
Ответ: $(-\infty; -1/3) \cup (4; +\infty)$.

5.8. Решите неравенство:

1) $(x^4 + 1)(5 - 6x)(x - 2) < 0;$

2) $(x + 3)(x + 6)(x + 5)(x^2 - 4x + 5) \geq 0.$

1) Решим неравенство $(x^4 + 1)(5 - 6x)(x - 2) < 0$.

Множитель $(x^4 + 1)$ всегда положителен при любом значении $x$, так как $x^4 \ge 0$, а значит $x^4 + 1 \ge 1$. Следовательно, знак выражения зависит только от остальных множителей. Мы можем разделить обе части неравенства на $(x^4 + 1)$, не меняя знака неравенства:

$(5 - 6x)(x - 2) < 0$

Для удобства вынесем минус из первой скобки, умножив обе части неравенства на $-1$ и изменив знак неравенства на противоположный:

$-(6x - 5)(x - 2) < 0$

$(6x - 5)(x - 2) > 0$

Теперь решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни соответствующего уравнения $(6x - 5)(x - 2) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{5}{6}$ и $x_2 = 2$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, \frac{5}{6})$, $(\frac{5}{6}, 2)$ и $(2, +\infty)$.

Так как мы решаем неравенство $(6x - 5)(x - 2) > 0$, а ветви параболы $y = (6x - 5)(x - 2)$ направлены вверх, решение находится на интервалах, где значения функции положительны, то есть вне корней.

Таким образом, решением является объединение интервалов $(-\infty, \frac{5}{6})$ и $(2, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, \frac{5}{6}) \cup (2, +\infty)$.

2) Решим неравенство $(x + 3)(x + 6)(x + 5)(x^2 - 4x + 5) \ge 0$.

Рассмотрим множитель $(x^2 - 4x + 5)$. Найдем его дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$) и старший коэффициент положительный ($a = 1 > 0$), квадратный трехчлен $x^2 - 4x + 5$ положителен при всех действительных значениях $x$.

Это также можно увидеть, выделив полный квадрат: $x^2 - 4x + 5 = (x^2 - 4x + 4) + 1 = (x - 2)^2 + 1$. Так как $(x - 2)^2 \ge 0$, то $(x - 2)^2 + 1 \ge 1$.

Так как множитель $(x^2 - 4x + 5)$ всегда положителен, мы можем разделить на него обе части неравенства, не меняя знака:

$(x + 3)(x + 6)(x + 5) \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули левой части, приравняв каждый множитель к нулю:

$x + 3 = 0 \Rightarrow x_1 = -3$

$x + 6 = 0 \Rightarrow x_2 = -6$

$x + 5 = 0 \Rightarrow x_3 = -5$

Отметим эти точки на числовой прямой в порядке возрастания: $-6, -5, -3$. Точки включаются в решение, так как неравенство нестрогое ($\ge 0$).

Эти точки разбивают числовую прямую на четыре интервала: $(-\infty, -6]$, $[-6, -5]$, $[-5, -3]$ и $[-3, +\infty)$.

Определим знак выражения $f(x) = (x + 3)(x + 6)(x + 5)$ на крайнем правом интервале. Возьмем $x=0$: $f(0) = (0+3)(0+6)(0+5) = 90 > 0$. Значит, на интервале $[-3, +\infty)$ выражение положительно.

Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), при переходе через каждый корень знак выражения будет меняться. Двигаясь справа налево, чередуем знаки:

Интервал $[-3, +\infty)$: $+$

Интервал $[-5, -3]$: $-$

Интервал $[-6, -5]$: $+$

Интервал $(-\infty, -6]$: $-$

Нам нужны интервалы, где выражение не меньше нуля ($\ge 0$), то есть интервалы со знаком «+».

Объединяя подходящие интервалы, получаем решение.

Ответ: $x \in [-6, -5] \cup [-3, +\infty)$.

5.9. Решите неравенство:

1) $(x - 4)^2(x^2 - 7x + 10) < 0;$

2) $(x - 4)^2(x^2 - 7x + 10) \le 0;$

3) $(x - 4)^2(x^2 - 7x + 10) > 0;$

4) $(x - 4)^2(x^2 - 7x + 10) \ge 0;$

5) $(x - 3)^2(x^2 + x - 2) < 0;$

6) $(x - 3)^2(x^2 + x - 2) \le 0;$

7) $(x - 3)^2(x^2 + x - 2) > 0;$

8) $(x - 3)^2(x^2 + x - 2) \ge 0.$

1) $(x - 4)^2(x^2 - 7x + 10) < 0$

Разложим квадратный трехчлен $x^2 - 7x + 10$ на множители. Найдем его корни, решив уравнение $x^2 - 7x + 10 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 5$.
Таким образом, $x^2 - 7x + 10 = (x - 2)(x - 5)$.
Исходное неравенство принимает вид: $(x - 4)^2(x - 2)(x - 5) < 0$.
Множитель $(x - 4)^2$ неотрицателен при всех значениях $x$. Он равен нулю при $x = 4$ и положителен при $x \ne 4$.
Рассмотрим два случая:
1. Если $x = 4$, левая часть неравенства равна 0. Неравенство $0 < 0$ неверно, значит $x = 4$ не является решением.
2. Если $x \ne 4$, то $(x - 4)^2 > 0$. Мы можем разделить обе части неравенства на $(x - 4)^2$, не меняя знака неравенства:
$(x - 2)(x - 5) < 0$.
Решим это неравенство методом интервалов. Корни: 2 и 5. Они разбивают числовую прямую на интервалы $(-\infty, 2)$, $(2, 5)$, $(5, \infty)$.
Знаки выражения $(x - 2)(x - 5)$ на интервалах: +, -, +.
Нам нужен интервал, где выражение отрицательно, то есть $(2, 5)$.
Учитывая, что $x \ne 4$, мы должны исключить эту точку из полученного интервала.
Ответ: $x \in (2, 4) \cup (4, 5)$.

2) $(x - 4)^2(x^2 - 7x + 10) \le 0$

Используя разложение из предыдущего пункта, перепишем неравенство: $(x - 4)^2(x - 2)(x - 5) \le 0$.
Это неравенство выполняется, если левая часть меньше нуля или равна нулю.
Из пункта 1) мы знаем, что $(x - 4)^2(x - 2)(x - 5) < 0$ при $x \in (2, 4) \cup (4, 5)$.
Теперь найдем, когда левая часть равна нулю: $(x - 4)^2(x - 2)(x - 5) = 0$.
Это происходит, когда один из множителей равен нулю, то есть при $x = 4$, $x = 2$ или $x = 5$.
Объединим решения: $(2, 4) \cup (4, 5) \cup \{2, 4, 5\}$.
Включая точки 2, 4 и 5 в интервал, получаем отрезок $[2, 5]$.
Ответ: $x \in [2, 5]$.

3) $(x - 4)^2(x^2 - 7x + 10) > 0$

Перепишем неравенство в виде: $(x - 4)^2(x - 2)(x - 5) > 0$.
Как и в пункте 1, при $x \ne 4$ неравенство эквивалентно $(x - 2)(x - 5) > 0$.
Решением этого неравенства является объединение интервалов $(-\infty, 2) \cup (5, \infty)$.
Точка $x = 4$ не принадлежит этому множеству, поэтому никаких дополнительных исключений делать не нужно. При $x=4$ левая часть равна 0, что не удовлетворяет строгому неравенству $0>0$.
Ответ: $x \in (-\infty, 2) \cup (5, \infty)$.

4) $(x - 4)^2(x^2 - 7x + 10) \ge 0$

Перепишем неравенство в виде: $(x - 4)^2(x - 2)(x - 5) \ge 0$.
Неравенство выполняется, если левая часть больше нуля или равна нулю.
Из пункта 3) мы знаем, что выражение больше нуля при $x \in (-\infty, 2) \cup (5, \infty)$.
Выражение равно нулю при $x = 2, 4, 5$.
Объединяя решения, получаем: $((-\infty, 2) \cup (5, \infty)) \cup \{2, 4, 5\}$.
Это дает нам множество $(-\infty, 2] \cup [5, \infty)$ и изолированную точку $x=4$.
Ответ: $x \in (-\infty, 2] \cup \{4\} \cup [5, \infty)$.

5) $(x - 3)^2(x^2 + x - 2) < 0$

Разложим на множители $x^2 + x - 2$. Решим уравнение $x^2 + x - 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.
Следовательно, $x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$.
Неравенство принимает вид: $(x - 3)^2(x + 2)(x - 1) < 0$.
Множитель $(x - 3)^2 \ge 0$ для всех $x$. Он равен 0 при $x = 3$.
Если $x = 3$, левая часть равна 0, неравенство $0 < 0$ неверно.
Если $x \ne 3$, то $(x - 3)^2 > 0$, и неравенство можно упростить до $(x + 2)(x - 1) < 0$.
Решением этого неравенства является интервал $(-2, 1)$.
Точка $x=3$ не входит в этот интервал, поэтому дополнительных действий не требуется.
Ответ: $x \in (-2, 1)$.

6) $(x - 3)^2(x^2 + x - 2) \le 0$

Перепишем неравенство: $(x - 3)^2(x + 2)(x - 1) \le 0$.
Неравенство выполняется, когда левая часть меньше или равна нулю.
Из пункта 5) известно, что выражение меньше нуля при $x \in (-2, 1)$.
Выражение равно нулю при $x = 3, -2, 1$.
Объединяя решения, получаем: $(-2, 1) \cup \{-2, 1, 3\}$.
Это дает нам отрезок $[-2, 1]$ и изолированную точку $x=3$.
Ответ: $x \in [-2, 1] \cup \{3\}$.

7) $(x - 3)^2(x^2 + x - 2) > 0$

Перепишем неравенство: $(x - 3)^2(x + 2)(x - 1) > 0$.
При $x \ne 3$, неравенство эквивалентно $(x + 2)(x - 1) > 0$.
Решением этого неравенства является $(-\infty, -2) \cup (1, \infty)$.
Нужно учесть, что $x \ne 3$. Точка $x=3$ находится в интервале $(1, \infty)$, поэтому её нужно исключить.
При $x=3$ левая часть равна 0, что не удовлетворяет строгому неравенству.
Исключая точку 3, получаем: $(-\infty, -2) \cup (1, 3) \cup (3, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (1, 3) \cup (3, \infty)$.

8) $(x - 3)^2(x^2 + x - 2) \ge 0$

Перепишем неравенство: $(x - 3)^2(x + 2)(x - 1) \ge 0$.
Неравенство выполняется, когда левая часть больше или равна нулю.
Из пункта 7) известно, что выражение больше нуля при $x \in (-\infty, -2) \cup (1, 3) \cup (3, \infty)$.
Выражение равно нулю при $x = -2, 1, 3$.
Объединяя решения: $((-\infty, -2) \cup (1, 3) \cup (3, \infty)) \cup \{-2, 1, 3\}$.
Включая точки -2, 1 и 3, получаем объединение лучей $(-\infty, -2]$ и $[1, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup [1, \infty)$.

5.10. Решите неравенство:

1) $(x - 1)(x + 3)^2(x - 2) < 0$;

2) $|x - 4|(x + 1)(x - 3) > 0$;

3) $(2x + 1)^2(x - 1)(x - 2) \geq 0$;

4) $(x - 5)(x + 4)(x^2 + 6x + 9) \geq 0$.

1) $(x-1)(x+3)^2(x-2) < 0$

Решим данное неравенство методом интервалов.
Сначала найдем корни выражения в левой части, приравняв его к нулю:
$(x-1)(x+3)^2(x-2) = 0$
Корнями являются значения $x$, при которых один из множителей равен нулю:
$x-1=0 \Rightarrow x_1 = 1$ (корень кратности 1, нечетная).
$(x+3)^2=0 \Rightarrow x_2 = -3$ (корень кратности 2, четная).
$x-2=0 \Rightarrow x_3 = 2$ (корень кратности 1, нечетная).
Нанесем эти корни на числовую ось. Так как неравенство строгое ($<0$), точки будут выколотыми (не входят в решение). Корни разбивают ось на интервалы: $(-\infty; -3)$, $(-3; 1)$, $(1; 2)$, $(2; +\infty)$.
Определим знак выражения в каждом интервале. Начнем с крайнего правого интервала, взяв пробную точку, например, $x=10$:
$(10-1)(10+3)^2(10-2) = 9 \cdot 13^2 \cdot 8$, что больше нуля. Значит, в интервале $(2; +\infty)$ знак «+».
Далее, двигаясь справа налево, будем менять знак при переходе через корень нечетной кратности и сохранять знак при переходе через корень четной кратности.
- Переходим через $x=2$ (нечетная кратность): знак меняется с «+» на «-». Интервал $(1; 2)$ имеет знак «-».
- Переходим через $x=1$ (нечетная кратность): знак меняется с «-» на «+». Интервал $(-3; 1)$ имеет знак «+».
- Переходим через $x=-3$ (четная кратность): знак не меняется. Интервал $(-\infty; -3)$ имеет знак «+».
Нам нужны значения $x$, для которых выражение отрицательно ($<0$). Это соответствует интервалу со знаком «-».
Следовательно, решением является интервал $(1; 2)$.

Ответ: $x \in (1; 2)$.

2) $|x-4|(x+1)(x-3) > 0$

Рассмотрим множители в левой части.
Выражение $|x-4|$ по определению модуля всегда неотрицательно ($|x-4| \ge 0$).
Поскольку неравенство строгое ($>0$), левая часть не может быть равна нулю. Это означает, что $x \neq 4$, $x \neq -1$ и $x \neq 3$.
При условии $x \neq 4$, множитель $|x-4|$ всегда строго положителен. Поэтому мы можем разделить обе части неравенства на $|x-4|$, не меняя знака неравенства.
Получаем эквивалентное неравенство с учетом ОДЗ:
$(x+1)(x-3) > 0$ и $x \neq 4$.
Решим неравенство $(x+1)(x-3) > 0$ методом интервалов. Корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 3$.
График функции $y=(x+1)(x-3)$ — это парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.
Решением неравенства $(x+1)(x-3) > 0$ является объединение интервалов $(-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$.
Теперь необходимо учесть условие $x \neq 4$. Число 4 попадает в интервал $(3; +\infty)$, поэтому его нужно исключить из решения, разбив этот интервал на два.
Итоговое решение: $(-\infty; -1) \cup (3; 4) \cup (4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (3; 4) \cup (4; \infty)$.

3) $(2x+1)^2(x-1)(x-2) \ge 0$

Множитель $(2x+1)^2$ всегда неотрицателен, т.е. $(2x+1)^2 \ge 0$ для любого $x$.
Рассмотрим два случая:
1. Выражение равно нулю. Это происходит, когда один из множителей равен нулю.
$(2x+1)^2=0 \Rightarrow x=-1/2$.
$x-1=0 \Rightarrow x=1$.
$x-2=0 \Rightarrow x=2$.
Все эти значения ($x=-1/2, x=1, x=2$) являются решениями, так как неравенство нестрогое ($\ge 0$).
2. Выражение строго больше нуля: $(2x+1)^2(x-1)(x-2) > 0$.
Поскольку $(2x+1)^2 > 0$ при $x \neq -1/2$, мы можем разделить неравенство на этот множитель:
$(x-1)(x-2) > 0$.
Корни этого выражения $x=1$ и $x=2$. Это парабола с ветвями вверх, поэтому она положительна при $x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$.
Теперь объединим все найденные решения.
Из первого случая мы получили точки $\{-1/2, 1, 2\}$.
Из второго случая мы получили интервалы $(-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$.
Объединяем: $(-\infty; 1) \cup (2; +\infty) \cup \{-1/2, 1, 2\}$.
Точка $-1/2$ входит в интервал $(-\infty; 1)$.
Точка $1$ замыкает интервал $(-\infty; 1)$, превращая его в $(-\infty; 1]$.
Точка $2$ замыкает интервал $(2; +\infty)$, превращая его в $[2; +\infty)$.
Таким образом, итоговое решение: $(-\infty; 1] \cup [2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1] \cup [2; \infty)$.

4) $(x-5)(x+4)(x^2+6x+9) \ge 0$

Заметим, что выражение $x^2+6x+9$ является полным квадратом: $x^2+6x+9 = (x+3)^2$.
Перепишем неравенство в виде:
$(x-5)(x+4)(x+3)^2 \ge 0$.
Решим его методом интервалов. Найдем корни левой части:
$x-5 = 0 \Rightarrow x_1 = 5$ (кратность 1, нечетная).
$x+4 = 0 \Rightarrow x_2 = -4$ (кратность 1, нечетная).
$(x+3)^2 = 0 \Rightarrow x_3 = -3$ (кратность 2, четная).
Неравенство нестрогое ($\ge 0$), поэтому все корни являются решениями и на числовой оси отмечаются закрашенными точками.
Нанесем точки $-4, -3, 5$ на числовую ось.
Определим знаки в интервалах. Для $x=10$: $(10-5)(10+4)(10+3)^2 > 0$. Знак «+» в крайнем правом интервале.
Двигаясь справа налево:
- При переходе через $x=5$ (нечетная кратность) знак меняется на «-».
- При переходе через $x=-3$ (четная кратность) знак не меняется, остается «-».
- При переходе через $x=-4$ (нечетная кратность) знак меняется на «+».
Получаем знаки: $(-\infty; -4): +$; $(-4; -3): -$; $(-3; 5): -$; $(5; +\infty): +$.
Нам нужны промежутки, где выражение больше или равно нулю.
Это интервалы со знаком «+», а также точки, где выражение равно нулю.
Интервалы со знаком «+»: $(-\infty; -4)$ и $(5; +\infty)$.
Точки, где выражение равно нулю: $x=-4, x=-3, x=5$.
Объединяем решения:
Включаем $x=-4$ в первый интервал: $(-\infty; -4]$.
Включаем $x=5$ во второй интервал: $[5; +\infty)$.
Точка $x=-3$ является решением, но не попадает в эти интервалы, поэтому добавляем ее как изолированную точку.
Итоговое решение: $(-\infty; -4] \cup \{-3\} \cup [5; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4] \cup \{-3\} \cup [5; \infty)$.

5.11. Решите неравенство:

1) $x^2(x+1)(x-4) > 0;$

2) $|x+2|(x-3)(x-5) \ge 0.$

1) Решим неравенство $x^2(x+1)(x-4) > 0$ методом интервалов.

Сначала найдем корни (нули) левой части неравенства, приравняв ее к нулю:

$x^2(x+1)(x-4) = 0$

Корнями уравнения являются точки $x_1 = -1$, $x_2 = 0$ и $x_3 = 4$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Поскольку неравенство строгое ($>0$), все точки будут "выколотыми", то есть не войдут в решение.

Корень $x=0$ соответствует множителю $x^2$, который имеет четную степень (2). Это означает, что при переходе через точку $x=0$ на числовой прямой знак выражения меняться не будет. Корни $x=-1$ и $x=4$ имеют нечетную кратность (1), поэтому при переходе через эти точки знак будет меняться.

Определим знак выражения на каждом из полученных интервалов:

• Возьмем точку из крайнего правого интервала $(4; +\infty)$, например $x=5$:
  $5^2(5+1)(5-4) = 25 \cdot 6 \cdot 1 = 150$, что больше нуля. Ставим знак "+".
• При переходе через точку $x=4$ (нечетная кратность) знак меняется на "-". Интервал $(0; 4)$ имеет знак "-".
• При переходе через точку $x=0$ (четная кратность) знак не меняется. Интервал $(-1; 0)$ также имеет знак "-".
• При переходе через точку $x=-1$ (нечетная кратность) знак меняется на "+". Интервал $(-\infty; -1)$ имеет знак "+".

Получаем следующую расстановку знаков на числовой прямой:
` + ` на $(-\infty; -1)$, ` - ` на $(-1; 0)$, ` - ` на $(0; 4)$, ` + ` на $(4; +\infty)$.

Нас интересуют интервалы, где выражение строго больше нуля (знак "+").

Это объединение интервалов $(-\infty; -1)$ и $(4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (4; +\infty)$.

2) Решим неравенство $|x+2|(x-3)(x-5) \geq 0$.

Решим это неравенство методом интервалов.

Найдем корни левой части, приравняв ее к нулю:

$|x+2|(x-3)(x-5) = 0$

Корнями являются точки $x_1 = -2$, $x_2 = 3$ и $x_3 = 5$.

Так как неравенство нестрогое ($\geq 0$), все найденные корни являются частью решения, и на числовой прямой мы отметим их закрашенными точками.

Множитель $|x+2|$ всегда неотрицателен ($|x+2| \geq 0$). Он равен нулю в точке $x=-2$ и положителен во всех остальных точках. Это означает, что при переходе через точку $x=-2$ знак всего выражения меняться не будет (аналогично корню четной кратности). Корни $x=3$ и $x=5$ имеют нечетную кратность, поэтому при переходе через них знак будет меняться.

Определим знаки выражения на интервалах:

• Возьмем точку из крайнего правого интервала $(5; +\infty)$, например $x=6$:
  $|6+2|(6-3)(6-5) = 8 \cdot 3 \cdot 1 = 24$, что больше нуля. Ставим знак "+".
• При переходе через точку $x=5$ (нечетная кратность) знак меняется на "-". Интервал $(3; 5)$ имеет знак "-".
• При переходе через точку $x=3$ (нечетная кратность) знак меняется на "+". Интервал $(-2; 3)$ имеет знак "+".
• При переходе через точку $x=-2$ (аналог четной кратности) знак не меняется. Интервал $(-\infty; -2)$ также имеет знак "+".

Нас интересуют промежутки, где выражение больше или равно нулю ($\geq 0$). Это промежутки со знаком "+" и сами точки-корни.

Решением является объединение промежутков $(-\infty; -2]$, $[-2; 3]$ и $[5; +\infty)$.

Промежутки $(-\infty; -2]$ и $[-2; 3]$ можно объединить в один: $(-\infty; 3]$.

Таким образом, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in (-\infty; 3] \cup [5; +\infty)$.

5.12. Решите неравенство:

1) $\frac{x^2 + x - 20}{x^2 - 6x + 9} > 0;$

2) $\frac{x^2 + x - 20}{x^2 - 6x + 9} \ge 0;$

3) $\frac{x^2 + x - 20}{x^2 - 6x + 9} < 0;$

4) $\frac{x^2 + x - 20}{x^2 - 6x + 9} \le 0;$

5) $\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 2x - 8} > 0;$

6) $\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 2x - 8} \ge 0;$

7) $\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 2x - 8} < 0;$

8) $\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 2x - 8} \le 0.$

Для решения данных дробно-рациональных неравенств используется метод интервалов. Общий алгоритм для каждого неравенства:

1. Переносим все члены в левую часть, чтобы справа остался 0. (В данных задачах это уже сделано).
2. Находим корни числителя и корни знаменателя.
3. Отмечаем найденные корни на числовой оси. Корни знаменателя всегда "выколотые" (не входят в решение), так как на ноль делить нельзя. Корни числителя "закрашенные" (входят в решение), если неравенство нестрогое (≤ или ≥), и "выколотые", если неравенство строгое (< или >).
4. Определяем знак выражения в каждом из полученных интервалов. Для этого можно подставить любое число из интервала в исходное выражение.
5. Выбираем интервалы, которые соответствуют знаку неравенства.

Заметим, что в задачах 1-4 используются одни и те же квадратные трехчлены:

• Числитель: $ x^2 + x - 20 $. Найдем его корни: по теореме Виета $ x_1 = -5, x_2 = 4 $. Разложение: $ (x+5)(x-4) $.
• Знаменатель: $ x^2 - 6x + 9 $. Это формула квадрата разности: $ (x-3)^2 $. Корень $ x=3 $ (кратность 2).

В задачах 5-8 также используются общие выражения:

• Числитель: $ x^2 - 2x + 1 $. Это формула квадрата разности: $ (x-1)^2 $. Корень $ x=1 $ (кратность 2).
• Знаменатель: $ x^2 + 2x - 8 $. Найдем его корни: по теореме Виета $ x_1 = -4, x_2 = 2 $. Разложение: $ (x+4)(x-2) $.

Множитель в четной степени (например, $ (x-3)^2 $ или $ (x-1)^2 $) не меняет знак при переходе через свой корень. Это важно учитывать при расстановке знаков на интервалах.

1)

Решим неравенство $ \frac{x^2 + x - 20}{x^2 - 6x + 9} > 0 $.

Перепишем в виде разложения на множители: $ \frac{(x+5)(x-4)}{(x-3)^2} > 0 $.

Корни числителя: $ x = -5, x = 4 $.

Корень знаменателя: $ x = 3 $ (кратность 2).

Так как неравенство строгое, все точки на числовой оси будут выколотыми. Точка $ x=3 $ является корнем знаменателя и выкалывается в любом случае.

Наносим точки -5, 3, 4 на числовую ось и определяем знаки:

• Интервал $ (-\infty; -5) $: возьмем $ x = -6 \implies \frac{(-)(-)}{+} > 0 $ (плюс).
• Интервал $ (-5; 3) $: возьмем $ x = 0 \implies \frac{(+)(-)}{+} < 0 $ (минус).
• Интервал $ (3; 4) $: возьмем $ x = 3.5 \implies \frac{(+)(-)}{+} < 0 $ (минус). Знак не поменялся из-за четной кратности корня $ x=3 $.
• Интервал $ (4; +\infty) $: возьмем $ x = 5 \implies \frac{(+)(+)}{+} > 0 $ (плюс).

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак "+").

Ответ: $ x \in (-\infty; -5) \cup (4; +\infty) $.

2)

Решим неравенство $ \frac{x^2 + x - 20}{x^2 - 6x + 9} \ge 0 $.

Перепишем в виде $ \frac{(x+5)(x-4)}{(x-3)^2} \ge 0 $.

Это неравенство отличается от предыдущего тем, что оно нестрогое. Это значит, что корни числителя ($ x=-5, x=4 $) входят в решение. Корень знаменателя ($ x=3 $) по-прежнему не входит.

Используем ту же расстановку знаков, что и в пункте 1, но включаем в ответ точки -5 и 4.

Ответ: $ x \in (-\infty; -5] \cup [4; +\infty) $.

3)

Решим неравенство $ \frac{x^2 + x - 20}{x^2 - 6x + 9} < 0 $.

Перепишем в виде $ \frac{(x+5)(x-4)}{(x-3)^2} < 0 $.

Используя знаки из пункта 1, выбираем интервалы, где выражение меньше нуля (знак "-"). Неравенство строгое, все точки выколотые.

Это интервалы $ (-5; 3) $ и $ (3; 4) $.

Ответ: $ x \in (-5; 3) \cup (3; 4) $.

4)

Решим неравенство $ \frac{x^2 + x - 20}{x^2 - 6x + 9} \le 0 $.

Перепишем в виде $ \frac{(x+5)(x-4)}{(x-3)^2} \le 0 $.

Неравенство нестрогое, значит, корни числителя ($ x=-5, x=4 $) включаем в решение. Выбираем интервалы со знаком "минус" и добавляем к ним эти точки.

Интервалы $ (-5; 3) $ и $ (3; 4) $ объединяются с точками $ x=-5 $ и $ x=4 $. Получаем отрезок от -5 до 4, из которого исключена точка 3.

Ответ: $ x \in [-5; 3) \cup (3; 4] $.

5)

Решим неравенство $ \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 2x - 8} > 0 $.

Перепишем в виде разложения на множители: $ \frac{(x-1)^2}{(x+4)(x-2)} > 0 $.

Корень числителя: $ x = 1 $ (кратность 2).

Корни знаменателя: $ x = -4, x = 2 $.

Неравенство строгое, все точки выколотые. Числитель $ (x-1)^2 $ всегда неотрицателен. Он равен нулю при $ x=1 $. Чтобы дробь была строго больше нуля, нужно, чтобы числитель не был равен нулю ($ x \neq 1 $), и знаменатель был положителен.

Решаем неравенство $ (x+4)(x-2) > 0 $. Это парабола с ветвями вверх, она положительна вне интервала между корнями.

Решение: $ x \in (-\infty; -4) \cup (2; +\infty) $. Точка $ x=1 $ не входит в эти интервалы, так что дополнительно исключать ее не нужно.

Ответ: $ x \in (-\infty; -4) \cup (2; +\infty) $.

6)

Решим неравенство $ \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 2x - 8} \ge 0 $.

Перепишем в виде $ \frac{(x-1)^2}{(x+4)(x-2)} \ge 0 $.

Это неравенство выполняется в двух случаях:

1. Когда дробь равна нулю. Это происходит, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. $ (x-1)^2 = 0 \implies x = 1 $. При $ x=1 $ знаменатель не равен нулю, значит $ x=1 $ — это решение.
2. Когда дробь строго больше нуля. Как мы выяснили в пункте 5, это происходит при $ x \in (-\infty; -4) \cup (2; +\infty) $.

Объединяем эти два случая.

Ответ: $ x \in (-\infty; -4) \cup (2; +\infty) \cup \{1\} $.

7)

Решим неравенство $ \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 2x - 8} < 0 $.

Перепишем в виде $ \frac{(x-1)^2}{(x+4)(x-2)} < 0 $.

Числитель $ (x-1)^2 $ всегда неотрицателен. Чтобы дробь была отрицательной, числитель должен быть строго положительным ($ (x-1)^2 > 0 \implies x \neq 1 $), а знаменатель — отрицательным.

Решаем неравенство $ (x+4)(x-2) < 0 $. Парабола с ветвями вверх отрицательна между корнями.

Решение: $ x \in (-4; 2) $. Из этого интервала мы должны исключить точку $ x=1 $.

Ответ: $ x \in (-4; 1) \cup (1; 2) $.

8)

Решим неравенство $ \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 2x - 8} \le 0 $.

Перепишем в виде $ \frac{(x-1)^2}{(x+4)(x-2)} \le 0 $.

Неравенство выполняется, когда дробь меньше нуля или равна нулю.

1. Дробь меньше нуля: из пункта 7 мы знаем, что это $ x \in (-4; 1) \cup (1; 2) $.
2. Дробь равна нулю: из пункта 6 мы знаем, что это $ x=1 $.

Объединяя решение для $ < 0 $ и $ = 0 $, мы "закрываем" прокол в точке $ x=1 $. Получаем весь интервал от -4 до 2, не включая концы (так как это корни знаменателя).

Ответ: $ x \in (-4; 2) $.

5.13. Решите неравенство:

1) $ \frac{x^2 + 3x}{x - 5} \ge \frac{28}{x - 5} $;

2) $ \frac{1}{x} < 1 $;

3) $ \frac{x}{x + 3} > \frac{1}{2} $;

4) $ \frac{1}{x + 2} < \frac{3}{x - 3} $;

5) $ \frac{2}{x} - \frac{1}{x - 1} > 1 $;

6) $ \frac{x - 3}{x + 3} \le \frac{2x - 5}{4x - 3} $.

1) $\frac{x^2+3x}{x-5} \ge \frac{28}{x-5}$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x-5 \ne 0$, следовательно, $x \ne 5$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$\frac{x^2+3x}{x-5} - \frac{28}{x-5} \ge 0$

$\frac{x^2+3x-28}{x-5} \ge 0$

Теперь решим это неравенство методом интервалов. Для этого найдем корни числителя и знаменателя.

Нули числителя: $x^2+3x-28=0$.

Используем теорему Виета: $x_1 \cdot x_2 = -28$ и $x_1 + x_2 = -3$. Корни: $x_1 = -7$ и $x_2 = 4$.

Нуль знаменателя: $x-5=0$, откуда $x=5$.

Отметим точки $-7, 4, 5$ на числовой прямой. Точки $-7$ и $4$ являются решениями (знак $\ge$), поэтому они будут закрашенными. Точка $5$ не входит в ОДЗ, поэтому она будет выколотой.

Эти точки разбивают прямую на интервалы: $(-\infty; -7], [-7; 4], [4; 5), (5; +\infty)$.

Определим знак выражения $\frac{(x+7)(x-4)}{x-5}$ в каждом интервале:

• При $x > 5$ (например, $x=6$): $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$.
• При $4 < x < 5$ (например, $x=4.5$): $\frac{(+)(+)}{(-)} < 0$.
• При $-7 < x < 4$ (например, $x=0$): $\frac{(+)(-)}{(-)} > 0$.
• При $x < -7$ (например, $x=-8$): $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$.

Нас интересуют промежутки, где выражение больше или равно нулю. Это интервалы $[-7; 4]$ и $(5; +\infty)$.

Ответ: $x \in [-7; 4] \cup (5; +\infty)$.

2) $\frac{1}{x} < 1$

Перенесем 1 в левую часть:

$\frac{1}{x} - 1 < 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{1-x}{x} < 0$

Найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $1-x=0 \implies x=1$.

Нуль знаменателя: $x=0$.

Отметим точки $0$ и $1$ на числовой прямой. Обе точки выколотые, так как неравенство строгое, а $x=0$ не входит в ОДЗ.

Интервалы: $(-\infty; 0), (0; 1), (1; +\infty)$.

Определим знак выражения $\frac{1-x}{x}$ в каждом интервале:

• При $x > 1$ (например, $x=2$): $\frac{(-)}{(+)} < 0$.
• При $0 < x < 1$ (например, $x=0.5$): $\frac{(+)}{(+)} > 0$.
• При $x < 0$ (например, $x=-1$): $\frac{(+)}{(-)} < 0$.

Нас интересуют промежутки, где выражение меньше нуля. Это интервалы $(-\infty; 0)$ и $(1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty)$.

3) $\frac{x}{x+3} > \frac{1}{2}$

Перенесем все в левую часть:

$\frac{x}{x+3} - \frac{1}{2} > 0$

Приведем к общему знаменателю $2(x+3)$:

$\frac{2x - 1(x+3)}{2(x+3)} > 0$

$\frac{2x - x - 3}{2(x+3)} > 0$

$\frac{x-3}{2(x+3)} > 0$

Поскольку множитель 2 в знаменателе положителен, он не влияет на знак дроби. Неравенство равносильно $\frac{x-3}{x+3} > 0$.

Нули числителя: $x-3=0 \implies x=3$.

Нули знаменателя: $x+3=0 \implies x=-3$.

Отметим точки $-3$ и $3$ на числовой прямой (обе выколотые).

Интервалы: $(-\infty; -3), (-3; 3), (3; +\infty)$.

Определим знак выражения $\frac{x-3}{x+3}$:

• При $x > 3$: $(+)/(+) > 0$.
• При $-3 < x < 3$: $(-)/(+) < 0$.
• При $x < -3$: $(-)/(-) > 0$.

Нас интересуют промежутки, где выражение больше нуля. Это интервалы $(-\infty; -3)$ и $(3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$.

4) $\frac{1}{x+2} < \frac{3}{x-3}$

Перенесем все в левую часть:

$\frac{1}{x+2} - \frac{3}{x-3} < 0$

Приведем к общему знаменателю $(x+2)(x-3)$:

$\frac{1(x-3) - 3(x+2)}{(x+2)(x-3)} < 0$

$\frac{x-3-3x-6}{(x+2)(x-3)} < 0$

$\frac{-2x-9}{(x+2)(x-3)} < 0$

Умножим обе части на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный:

$\frac{2x+9}{(x+2)(x-3)} > 0$

Нули числителя: $2x+9=0 \implies x = -4.5$.

Нули знаменателя: $x+2=0 \implies x=-2$; $x-3=0 \implies x=3$.

Отметим точки $-4.5, -2, 3$ на числовой прямой (все выколотые).

Интервалы: $(-\infty; -4.5), (-4.5; -2), (-2; 3), (3; +\infty)$.

Определим знак выражения $\frac{2x+9}{(x+2)(x-3)}$:

• При $x > 3$: $(+)/((+)(+)) > 0$.
• При $-2 < x < 3$: $(+)/((+)(-)) < 0$.
• При $-4.5 < x < -2$: $(+)/((-)(-)) > 0$.
• При $x < -4.5$: $(-)/((-)(-)) < 0$.

Нас интересуют промежутки, где выражение больше нуля. Это $(-4.5; -2)$ и $(3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-4.5; -2) \cup (3; +\infty)$.

5) $\frac{2}{x} - \frac{1}{x-1} > 1$

Перенесем 1 в левую часть:

$\frac{2}{x} - \frac{1}{x-1} - 1 > 0$

Приведем к общему знаменателю $x(x-1)$:

$\frac{2(x-1) - 1(x) - 1 \cdot x(x-1)}{x(x-1)} > 0$

$\frac{2x-2-x-x^2+x}{x(x-1)} > 0$

$\frac{-x^2+2x-2}{x(x-1)} > 0$

Рассмотрим числитель $-x^2+2x-2$. Это квадратичная функция. Найдем ее дискриминант: $D = b^2-4ac = 2^2 - 4(-1)(-2) = 4-8 = -4$.

Поскольку $D < 0$ и старший коэффициент $a=-1 < 0$, парабола $y=-x^2+2x-2$ полностью лежит ниже оси Ох, то есть числитель всегда отрицателен при любом значении $x$.

Так как числитель всегда отрицателен, для выполнения неравенства $\frac{\text{отрицательное}}{x(x-1)} > 0$ необходимо, чтобы знаменатель был отрицателен:

$x(x-1) < 0$

Корнями выражения $x(x-1)$ являются $x=0$ и $x=1$. Парабола $y=x^2-x$ с ветвями вверх, она отрицательна между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $0 < x < 1$.

Ответ: $x \in (0; 1)$.

6) $\frac{x-3}{x+3} \le \frac{2x-5}{4x-3}$

Перенесем все в левую часть:

$\frac{x-3}{x+3} - \frac{2x-5}{4x-3} \le 0$

Приведем к общему знаменателю $(x+3)(4x-3)$:

$\frac{(x-3)(4x-3) - (2x-5)(x+3)}{(x+3)(4x-3)} \le 0$

Раскроем скобки в числителе:

$(4x^2 - 3x - 12x + 9) - (2x^2 + 6x - 5x - 15) = (4x^2 - 15x + 9) - (2x^2 + x - 15) = 4x^2 - 15x + 9 - 2x^2 - x + 15 = 2x^2 - 16x + 24$

Неравенство принимает вид:

$\frac{2x^2 - 16x + 24}{(x+3)(4x-3)} \le 0$

$\frac{2(x^2 - 8x + 12)}{(x+3)(4x-3)} \le 0$

Найдем нули числителя: $x^2 - 8x + 12 = 0$. По теореме Виета, $x_1=2, x_2=6$.

Найдем нули знаменателя: $x+3=0 \implies x=-3$; $4x-3=0 \implies x=3/4=0.75$.

Неравенство можно записать как $\frac{2(x-2)(x-6)}{(x+3)(4x-3)} \le 0$.

Отметим на числовой прямой точки $-3, 0.75, 2, 6$. Точки $2, 6$ закрашенные, а $-3, 0.75$ выколотые.

Определим знаки на интервалах:

• При $x>6$: $(+)(+)/((+)(+)) > 0$.
• При $2<x<6$: $(+)(-)/((+)(+)) < 0$.
• При $0.75<x<2$: $(-)(-)/((+)(+)) > 0$.
• При $-3<x<0.75$: $(-)(-)/((+)(-)) < 0$.
• При $x<-3$: $(-)(-)/((-)(-)) > 0$.

Нас интересуют промежутки, где выражение меньше или равно нулю. Это $(-3; 0.75)$ и $[2; 6]$.

Ответ: $x \in (-3; 0.75) \cup [2; 6]$.

5.14. Решите неравенство:

1) $\frac{1}{x+2} \le 1$

2) $\frac{5x+8}{4-x} < 2$

3) $\frac{2}{x+3} \ge \frac{1}{x-1}$

1) $\frac{1}{x+2} \le 1$

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю:
$x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$.

Теперь решим неравенство. Перенесем 1 в левую часть:
$\frac{1}{x+2} - 1 \le 0$

Приведем к общему знаменателю:
$\frac{1 - (x+2)}{x+2} \le 0$
$\frac{1 - x - 2}{x+2} \le 0$
$\frac{-x - 1}{x+2} \le 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$\frac{x+1}{x+2} \ge 0$

Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:
Нуль числителя: $x + 1 = 0 \implies x = -1$. Точка будет закрашенной, так как неравенство нестрогое ($\ge$).
Нуль знаменателя: $x + 2 = 0 \implies x = -2$. Точка будет выколотой, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Отметим точки -2 и -1 на числовой оси и определим знаки выражения $\frac{x+1}{x+2}$ в каждом из получившихся интервалов: $(-\infty; -2)$, $(-2; -1]$ и $[-1; +\infty)$.

• При $x < -2$ (например, $x=-3$): $\frac{-3+1}{-3+2} = \frac{-2}{-1} = 2 > 0$. Знак "+".
• При $-2 < x < -1$ (например, $x=-1.5$): $\frac{-1.5+1}{-1.5+2} = \frac{-0.5}{0.5} = -1 < 0$. Знак "-".
• При $x > -1$ (например, $x=0$): $\frac{0+1}{0+2} = \frac{1}{2} > 0$. Знак "+".

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю (знак "+"). Это интервалы $(-\infty; -2)$ и $[-1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup [-1; +\infty)$.

2) $\frac{5x+8}{4-x} < 2$

Найдем ОДЗ: знаменатель не равен нулю.
$4 - x \neq 0 \implies x \neq 4$.

Перенесем 2 в левую часть неравенства:
$\frac{5x+8}{4-x} - 2 < 0$

Приведем к общему знаменателю:
$\frac{5x+8 - 2(4-x)}{4-x} < 0$
$\frac{5x+8 - 8 + 2x}{4-x} < 0$
$\frac{7x}{4-x} < 0$

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:
Нуль числителя: $7x = 0 \implies x = 0$.
Нуль знаменателя: $4 - x = 0 \implies x = 4$.
Обе точки будут выколотыми, так как неравенство строгое (<) и $x \neq 4$ из ОДЗ.

Отметим точки 0 и 4 на числовой оси. Они разбивают ось на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 4)$ и $(4; +\infty)$. Определим знаки выражения $\frac{7x}{4-x}$ в каждом интервале.

• При $x < 0$ (например, $x=-1$): $\frac{7(-1)}{4-(-1)} = \frac{-7}{5} < 0$. Знак "-".
• При $0 < x < 4$ (например, $x=1$): $\frac{7(1)}{4-1} = \frac{7}{3} > 0$. Знак "+".
• При $x > 4$ (например, $x=5$): $\frac{7(5)}{4-5} = \frac{35}{-1} = -35 < 0$. Знак "-".

Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля (знак "-"). Это интервалы $(-\infty; 0)$ и $(4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (4; +\infty)$.

3) $\frac{2}{x+3} \ge \frac{1}{x-1}$

Найдем ОДЗ. Знаменатели не могут быть равны нулю:
$x+3 \neq 0 \implies x \neq -3$
$x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$

Перенесем все члены в левую часть:
$\frac{2}{x+3} - \frac{1}{x-1} \ge 0$

Приведем к общему знаменателю $(x+3)(x-1)$:
$\frac{2(x-1) - 1(x+3)}{(x+3)(x-1)} \ge 0$

Упростим числитель:
$\frac{2x - 2 - x - 3}{(x+3)(x-1)} \ge 0$
$\frac{x - 5}{(x+3)(x-1)} \ge 0$

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:
Нуль числителя: $x - 5 = 0 \implies x = 5$. Точка закрашенная ($\ge$).
Нули знаменателя: $x + 3 = 0 \implies x = -3$ и $x - 1 = 0 \implies x = 1$. Обе точки выколотые (ОДЗ).

Отметим точки -3, 1 и 5 на числовой оси. Они разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty; -3)$, $(-3; 1)$, $(1; 5]$ и $[5; +\infty)$. Определим знаки выражения $\frac{x-5}{(x+3)(x-1)}$ в каждом интервале.

• При $x < -3$ (например, $x=-4$): $\frac{-4-5}{(-4+3)(-4-1)} = \frac{-9}{(-1)(-5)} < 0$. Знак "-".
• При $-3 < x < 1$ (например, $x=0$): $\frac{0-5}{(0+3)(0-1)} = \frac{-5}{-3} > 0$. Знак "+".
• При $1 < x < 5$ (например, $x=2$): $\frac{2-5}{(2+3)(2-1)} = \frac{-3}{5} < 0$. Знак "-".
• При $x > 5$ (например, $x=6$): $\frac{6-5}{(6+3)(6-1)} = \frac{1}{45} > 0$. Знак "+".

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю (знак "+"). Это интервалы $(-3; 1)$ и $[5; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-3; 1) \cup [5; +\infty)$.

5.15. Решите неравенство:

1) $(2x + 3)(1 - 4x)^4(x - 2)^3(x + 6) < 0;$

2) $(1 - 3x)^3(x + 2)^2(x + 4)^5(x - 3) > 0;$

3) $(x^2 + 2x - 15)(x^2 - 4x + 3)(x - 1) \le 0;$

4) $(1 - 2x)(x - 3)^9(2x + 7)^6(x + 4)(x - 2)^2 > 0.$

1) $(2x + 3)(1 - 4x)^4(x - 2)^3(x + 6) < 0$

Для решения данного неравенства используем метод интервалов. Сначала найдем корни (нули) каждого множителя, которые разделят числовую ось на интервалы.

$2x + 3 = 0 \Rightarrow x = -1.5$ (корень нечетной кратности 1)
$1 - 4x = 0 \Rightarrow x = 0.25$ (корень четной кратности 4)
$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$ (корень нечетной кратности 3)
$x + 6 = 0 \Rightarrow x = -6$ (корень нечетной кратности 1)

Отметим эти точки на числовой оси в порядке возрастания: $-6$, $-1.5$, $0.25$, $2$. Так как неравенство строгое ($<0$), все точки будут "выколотыми".

Определим знак выражения в самом правом интервале $(2, \infty)$, взяв пробную точку, например, $x=10$:
$(2 \cdot 10 + 3)(1 - 4 \cdot 10)^4(10 - 2)^3(10 + 6) = (+)(+)(+)(+) = +$

Теперь движемся справа налево по числовой оси. При переходе через корень нечетной кратности знак меняется, а при переходе через корень четной кратности — сохраняется.

• Интервал $(2, \infty)$: знак $+$
• Переходим через $x=2$ (нечетная кратность): знак меняется на $-$. Интервал $(0.25, 2)$: знак $-$
• Переходим через $x=0.25$ (четная кратность): знак сохраняется. Интервал $(-1.5, 0.25)$: знак $-$
• Переходим через $x=-1.5$ (нечетная кратность): знак меняется на $+$. Интервал $(-6, -1.5)$: знак $+$
• Переходим через $x=-6$ (нечетная кратность): знак меняется на $-$. Интервал $(-\infty, -6)$: знак $-$

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля (знак $-$). Это $(-\infty, -6)$, $(-1.5, 0.25)$ и $(0.25, 2)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -6) \cup (-1.5, 0.25) \cup (0.25, 2)$

2) $(1 - 3x)^3(x + 2)^2(x + 4)^5(x - 3) > 0$

Преобразуем множитель $(1-3x)^3$ для удобства: $(1-3x)^3 = (-(3x-1))^3 = -(3x-1)^3$.
Неравенство принимает вид: $-(3x-1)^3(x + 2)^2(x + 4)^5(x - 3) > 0$.
Домножим обе части на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный: $(3x-1)^3(x + 2)^2(x + 4)^5(x - 3) < 0$.

Находим корни:

$3x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1/3$ (нечетная кратность 3)
$x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$ (четная кратность 2)
$x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4$ (нечетная кратность 5)
$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$ (нечетная кратность 1)

Располагаем корни на числовой оси: $-4$, $-2$, $1/3$, $3$.

Определяем знак в крайнем правом интервале $(3, \infty)$ для преобразованного неравенства, взяв $x=10$:
$(+)(+)(+)(+) = +$

Движемся справа налево:

• Интервал $(3, \infty)$: знак $+$
• Переходим через $x=3$ (нечетная кратность): знак меняется на $-$. Интервал $(1/3, 3)$: знак $-$
• Переходим через $x=1/3$ (нечетная кратность): знак меняется на $+$. Интервал $(-2, 1/3)$: знак $+$
• Переходим через $x=-2$ (четная кратность): знак сохраняется. Интервал $(-4, -2)$: знак $+$
• Переходим через $x=-4$ (нечетная кратность): знак меняется на $-$. Интервал $(-\infty, -4)$: знак $-$

Ищем интервалы, где выражение меньше нуля (знак $-$). Это $(-\infty, -4)$ и $(1/3, 3)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (1/3, 3)$

3) $(x^2 + 2x - 15)(x^2 - 4x + 3)(x - 1) \le 0$

Сначала разложим квадратные трехчлены на множители.

Для $x^2 + 2x - 15$: по теореме Виета корни $x_1 = -5$ и $x_2 = 3$. Таким образом, $x^2 + 2x - 15 = (x+5)(x-3)$.

Для $x^2 - 4x + 3$: по теореме Виета корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$. Таким образом, $x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$.

Подставим разложения в исходное неравенство:
$(x+5)(x-3)(x-1)(x-3)(x-1) \le 0$
Сгруппируем одинаковые множители:
$(x+5)(x-1)^2(x-3)^2 \le 0$

Находим корни:

$x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5$ (нечетная кратность 1)
$x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$ (четная кратность 2)
$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$ (четная кратность 2)

Располагаем корни на числовой оси: $-5$, $1$, $3$. Так как неравенство нестрогое ($\le 0$), точки будут "закрашенными".

Определяем знак в интервале $(3, \infty)$ при $x=10$: $(+)(+)^2(+)^2 = +$.

Движемся справа налево:

• Интервал $(3, \infty)$: знак $+$
• Переходим через $x=3$ (четная кратность): знак сохраняется. Интервал $(1, 3)$: знак $+$
• Переходим через $x=1$ (четная кратность): знак сохраняется. Интервал $(-5, 1)$: знак $+$
• Переходим через $x=-5$ (нечетная кратность): знак меняется на $-$. Интервал $(-\infty, -5)$: знак $-$

Нам нужны участки, где выражение меньше или равно нулю. Меньше нуля на интервале $(-\infty, -5]$. Равно нулю в точках $x=-5, x=1, x=3$. Объединяя эти результаты, получаем решение.

Ответ: $x \in (-\infty, -5] \cup \{1\} \cup \{3\}$

4) $(1 - 2x)(x - 3)^9(2x + 7)^6(x + 4)(x - 2)^2 > 0$

Преобразуем множитель $(1-2x) = -(2x-1)$. Неравенство примет вид:
$-(2x-1)(x - 3)^9(2x + 7)^6(x + 4)(x - 2)^2 > 0$.
Домножим на $-1$ и изменим знак неравенства:
$(2x-1)(x - 3)^9(2x + 7)^6(x + 4)(x - 2)^2 < 0$.

Находим корни и их кратность:

$2x - 1 = 0 \Rightarrow x = 0.5$ (нечетная кратность 1)
$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$ (нечетная кратность 9)
$2x + 7 = 0 \Rightarrow x = -3.5$ (четная кратность 6)
$x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4$ (нечетная кратность 1)
$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$ (четная кратность 2)

Располагаем корни на числовой оси: $-4$, $-3.5$, $0.5$, $2$, $3$.

Определяем знак в крайнем правом интервале $(3, \infty)$ для преобразованного неравенства, взяв $x=10$: $(+)(+)(+)(+)(+) = +$.

Движемся справа налево:

• Интервал $(3, \infty)$: знак $+$
• Переходим через $x=3$ (нечетная кратность): знак меняется на $-$. Интервал $(2, 3)$: знак $-$
• Переходим через $x=2$ (четная кратность): знак сохраняется. Интервал $(0.5, 2)$: знак $-$
• Переходим через $x=0.5$ (нечетная кратность): знак меняется на $+$. Интервал $(-3.5, 0.5)$: знак $+$
• Переходим через $x=-3.5$ (четная кратность): знак сохраняется. Интервал $(-4, -3.5)$: знак $+$
• Переходим через $x=-4$ (нечетная кратность): знак меняется на $-$. Интервал $(-\infty, -4)$: знак $-$

Ищем интервалы, где выражение меньше нуля (знак $-$). Это $(-\infty, -4)$, $(0.5, 2)$ и $(2, 3)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (0.5, 2) \cup (2, 3)$