Номер 5.13, страница 42 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.13. Решите неравенство:

1) $ \frac{x^2 + 3x}{x - 5} \ge \frac{28}{x - 5} $;

2) $ \frac{1}{x} < 1 $;

3) $ \frac{x}{x + 3} > \frac{1}{2} $;

4) $ \frac{1}{x + 2} < \frac{3}{x - 3} $;

5) $ \frac{2}{x} - \frac{1}{x - 1} > 1 $;

6) $ \frac{x - 3}{x + 3} \le \frac{2x - 5}{4x - 3} $.

1) $\frac{x^2+3x}{x-5} \ge \frac{28}{x-5}$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x-5 \ne 0$, следовательно, $x \ne 5$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$\frac{x^2+3x}{x-5} - \frac{28}{x-5} \ge 0$

$\frac{x^2+3x-28}{x-5} \ge 0$

Теперь решим это неравенство методом интервалов. Для этого найдем корни числителя и знаменателя.

Нули числителя: $x^2+3x-28=0$.

Используем теорему Виета: $x_1 \cdot x_2 = -28$ и $x_1 + x_2 = -3$. Корни: $x_1 = -7$ и $x_2 = 4$.

Нуль знаменателя: $x-5=0$, откуда $x=5$.

Отметим точки $-7, 4, 5$ на числовой прямой. Точки $-7$ и $4$ являются решениями (знак $\ge$), поэтому они будут закрашенными. Точка $5$ не входит в ОДЗ, поэтому она будет выколотой.

Эти точки разбивают прямую на интервалы: $(-\infty; -7], [-7; 4], [4; 5), (5; +\infty)$.

Определим знак выражения $\frac{(x+7)(x-4)}{x-5}$ в каждом интервале:

• При $x > 5$ (например, $x=6$): $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$.
• При $4 < x < 5$ (например, $x=4.5$): $\frac{(+)(+)}{(-)} < 0$.
• При $-7 < x < 4$ (например, $x=0$): $\frac{(+)(-)}{(-)} > 0$.
• При $x < -7$ (например, $x=-8$): $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$.

Нас интересуют промежутки, где выражение больше или равно нулю. Это интервалы $[-7; 4]$ и $(5; +\infty)$.

Ответ: $x \in [-7; 4] \cup (5; +\infty)$.

2) $\frac{1}{x} < 1$

Перенесем 1 в левую часть:

$\frac{1}{x} - 1 < 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{1-x}{x} < 0$

Найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $1-x=0 \implies x=1$.

Нуль знаменателя: $x=0$.

Отметим точки $0$ и $1$ на числовой прямой. Обе точки выколотые, так как неравенство строгое, а $x=0$ не входит в ОДЗ.

Интервалы: $(-\infty; 0), (0; 1), (1; +\infty)$.

Определим знак выражения $\frac{1-x}{x}$ в каждом интервале:

• При $x > 1$ (например, $x=2$): $\frac{(-)}{(+)} < 0$.
• При $0 < x < 1$ (например, $x=0.5$): $\frac{(+)}{(+)} > 0$.
• При $x < 0$ (например, $x=-1$): $\frac{(+)}{(-)} < 0$.

Нас интересуют промежутки, где выражение меньше нуля. Это интервалы $(-\infty; 0)$ и $(1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty)$.

3) $\frac{x}{x+3} > \frac{1}{2}$

Перенесем все в левую часть:

$\frac{x}{x+3} - \frac{1}{2} > 0$

Приведем к общему знаменателю $2(x+3)$:

$\frac{2x - 1(x+3)}{2(x+3)} > 0$

$\frac{2x - x - 3}{2(x+3)} > 0$

$\frac{x-3}{2(x+3)} > 0$

Поскольку множитель 2 в знаменателе положителен, он не влияет на знак дроби. Неравенство равносильно $\frac{x-3}{x+3} > 0$.

Нули числителя: $x-3=0 \implies x=3$.

Нули знаменателя: $x+3=0 \implies x=-3$.

Отметим точки $-3$ и $3$ на числовой прямой (обе выколотые).

Интервалы: $(-\infty; -3), (-3; 3), (3; +\infty)$.

Определим знак выражения $\frac{x-3}{x+3}$:

• При $x > 3$: $(+)/(+) > 0$.
• При $-3 < x < 3$: $(-)/(+) < 0$.
• При $x < -3$: $(-)/(-) > 0$.

Нас интересуют промежутки, где выражение больше нуля. Это интервалы $(-\infty; -3)$ и $(3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$.

4) $\frac{1}{x+2} < \frac{3}{x-3}$

Перенесем все в левую часть:

$\frac{1}{x+2} - \frac{3}{x-3} < 0$

Приведем к общему знаменателю $(x+2)(x-3)$:

$\frac{1(x-3) - 3(x+2)}{(x+2)(x-3)} < 0$

$\frac{x-3-3x-6}{(x+2)(x-3)} < 0$

$\frac{-2x-9}{(x+2)(x-3)} < 0$

Умножим обе части на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный:

$\frac{2x+9}{(x+2)(x-3)} > 0$

Нули числителя: $2x+9=0 \implies x = -4.5$.

Нули знаменателя: $x+2=0 \implies x=-2$; $x-3=0 \implies x=3$.

Отметим точки $-4.5, -2, 3$ на числовой прямой (все выколотые).

Интервалы: $(-\infty; -4.5), (-4.5; -2), (-2; 3), (3; +\infty)$.

Определим знак выражения $\frac{2x+9}{(x+2)(x-3)}$:

• При $x > 3$: $(+)/((+)(+)) > 0$.
• При $-2 < x < 3$: $(+)/((+)(-)) < 0$.
• При $-4.5 < x < -2$: $(+)/((-)(-)) > 0$.
• При $x < -4.5$: $(-)/((-)(-)) < 0$.

Нас интересуют промежутки, где выражение больше нуля. Это $(-4.5; -2)$ и $(3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-4.5; -2) \cup (3; +\infty)$.

5) $\frac{2}{x} - \frac{1}{x-1} > 1$

Перенесем 1 в левую часть:

$\frac{2}{x} - \frac{1}{x-1} - 1 > 0$

Приведем к общему знаменателю $x(x-1)$:

$\frac{2(x-1) - 1(x) - 1 \cdot x(x-1)}{x(x-1)} > 0$

$\frac{2x-2-x-x^2+x}{x(x-1)} > 0$

$\frac{-x^2+2x-2}{x(x-1)} > 0$

Рассмотрим числитель $-x^2+2x-2$. Это квадратичная функция. Найдем ее дискриминант: $D = b^2-4ac = 2^2 - 4(-1)(-2) = 4-8 = -4$.

Поскольку $D < 0$ и старший коэффициент $a=-1 < 0$, парабола $y=-x^2+2x-2$ полностью лежит ниже оси Ох, то есть числитель всегда отрицателен при любом значении $x$.

Так как числитель всегда отрицателен, для выполнения неравенства $\frac{\text{отрицательное}}{x(x-1)} > 0$ необходимо, чтобы знаменатель был отрицателен:

$x(x-1) < 0$

Корнями выражения $x(x-1)$ являются $x=0$ и $x=1$. Парабола $y=x^2-x$ с ветвями вверх, она отрицательна между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $0 < x < 1$.

Ответ: $x \in (0; 1)$.

6) $\frac{x-3}{x+3} \le \frac{2x-5}{4x-3}$

Перенесем все в левую часть:

$\frac{x-3}{x+3} - \frac{2x-5}{4x-3} \le 0$

Приведем к общему знаменателю $(x+3)(4x-3)$:

$\frac{(x-3)(4x-3) - (2x-5)(x+3)}{(x+3)(4x-3)} \le 0$

Раскроем скобки в числителе:

$(4x^2 - 3x - 12x + 9) - (2x^2 + 6x - 5x - 15) = (4x^2 - 15x + 9) - (2x^2 + x - 15) = 4x^2 - 15x + 9 - 2x^2 - x + 15 = 2x^2 - 16x + 24$

Неравенство принимает вид:

$\frac{2x^2 - 16x + 24}{(x+3)(4x-3)} \le 0$

$\frac{2(x^2 - 8x + 12)}{(x+3)(4x-3)} \le 0$

Найдем нули числителя: $x^2 - 8x + 12 = 0$. По теореме Виета, $x_1=2, x_2=6$.

Найдем нули знаменателя: $x+3=0 \implies x=-3$; $4x-3=0 \implies x=3/4=0.75$.

Неравенство можно записать как $\frac{2(x-2)(x-6)}{(x+3)(4x-3)} \le 0$.

Отметим на числовой прямой точки $-3, 0.75, 2, 6$. Точки $2, 6$ закрашенные, а $-3, 0.75$ выколотые.

Определим знаки на интервалах:

• При $x>6$: $(+)(+)/((+)(+)) > 0$.
• При $2<x<6$: $(+)(-)/((+)(+)) < 0$.
• При $0.75<x<2$: $(-)(-)/((+)(+)) > 0$.
• При $-3<x<0.75$: $(-)(-)/((+)(-)) < 0$.
• При $x<-3$: $(-)(-)/((-)(-)) > 0$.

Нас интересуют промежутки, где выражение меньше или равно нулю. Это $(-3; 0.75)$ и $[2; 6]$.

Ответ: $x \in (-3; 0.75) \cup [2; 6]$.