Номер 5.8, страница 42 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.8. Решите неравенство:

1) $(x^4 + 1)(5 - 6x)(x - 2) < 0;$

2) $(x + 3)(x + 6)(x + 5)(x^2 - 4x + 5) \geq 0.$

1) Решим неравенство $(x^4 + 1)(5 - 6x)(x - 2) < 0$.

Множитель $(x^4 + 1)$ всегда положителен при любом значении $x$, так как $x^4 \ge 0$, а значит $x^4 + 1 \ge 1$. Следовательно, знак выражения зависит только от остальных множителей. Мы можем разделить обе части неравенства на $(x^4 + 1)$, не меняя знака неравенства:

$(5 - 6x)(x - 2) < 0$

Для удобства вынесем минус из первой скобки, умножив обе части неравенства на $-1$ и изменив знак неравенства на противоположный:

$-(6x - 5)(x - 2) < 0$

$(6x - 5)(x - 2) > 0$

Теперь решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни соответствующего уравнения $(6x - 5)(x - 2) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{5}{6}$ и $x_2 = 2$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, \frac{5}{6})$, $(\frac{5}{6}, 2)$ и $(2, +\infty)$.

Так как мы решаем неравенство $(6x - 5)(x - 2) > 0$, а ветви параболы $y = (6x - 5)(x - 2)$ направлены вверх, решение находится на интервалах, где значения функции положительны, то есть вне корней.

Таким образом, решением является объединение интервалов $(-\infty, \frac{5}{6})$ и $(2, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, \frac{5}{6}) \cup (2, +\infty)$.

2) Решим неравенство $(x + 3)(x + 6)(x + 5)(x^2 - 4x + 5) \ge 0$.

Рассмотрим множитель $(x^2 - 4x + 5)$. Найдем его дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$) и старший коэффициент положительный ($a = 1 > 0$), квадратный трехчлен $x^2 - 4x + 5$ положителен при всех действительных значениях $x$.

Это также можно увидеть, выделив полный квадрат: $x^2 - 4x + 5 = (x^2 - 4x + 4) + 1 = (x - 2)^2 + 1$. Так как $(x - 2)^2 \ge 0$, то $(x - 2)^2 + 1 \ge 1$.

Так как множитель $(x^2 - 4x + 5)$ всегда положителен, мы можем разделить на него обе части неравенства, не меняя знака:

$(x + 3)(x + 6)(x + 5) \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули левой части, приравняв каждый множитель к нулю:

$x + 3 = 0 \Rightarrow x_1 = -3$

$x + 6 = 0 \Rightarrow x_2 = -6$

$x + 5 = 0 \Rightarrow x_3 = -5$

Отметим эти точки на числовой прямой в порядке возрастания: $-6, -5, -3$. Точки включаются в решение, так как неравенство нестрогое ($\ge 0$).

Эти точки разбивают числовую прямую на четыре интервала: $(-\infty, -6]$, $[-6, -5]$, $[-5, -3]$ и $[-3, +\infty)$.

Определим знак выражения $f(x) = (x + 3)(x + 6)(x + 5)$ на крайнем правом интервале. Возьмем $x=0$: $f(0) = (0+3)(0+6)(0+5) = 90 > 0$. Значит, на интервале $[-3, +\infty)$ выражение положительно.

Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), при переходе через каждый корень знак выражения будет меняться. Двигаясь справа налево, чередуем знаки:

Интервал $[-3, +\infty)$: $+$

Интервал $[-5, -3]$: $-$

Интервал $[-6, -5]$: $+$

Интервал $(-\infty, -6]$: $-$

Нам нужны интервалы, где выражение не меньше нуля ($\ge 0$), то есть интервалы со знаком «+».

Объединяя подходящие интервалы, получаем решение.

Ответ: $x \in [-6, -5] \cup [-3, +\infty)$.