Номер 5.10, страница 42 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.10. Решите неравенство:

1) $(x - 1)(x + 3)^2(x - 2) < 0$;

2) $|x - 4|(x + 1)(x - 3) > 0$;

3) $(2x + 1)^2(x - 1)(x - 2) \geq 0$;

4) $(x - 5)(x + 4)(x^2 + 6x + 9) \geq 0$.

1) $(x-1)(x+3)^2(x-2) < 0$

Решим данное неравенство методом интервалов.
Сначала найдем корни выражения в левой части, приравняв его к нулю:
$(x-1)(x+3)^2(x-2) = 0$
Корнями являются значения $x$, при которых один из множителей равен нулю:
$x-1=0 \Rightarrow x_1 = 1$ (корень кратности 1, нечетная).
$(x+3)^2=0 \Rightarrow x_2 = -3$ (корень кратности 2, четная).
$x-2=0 \Rightarrow x_3 = 2$ (корень кратности 1, нечетная).
Нанесем эти корни на числовую ось. Так как неравенство строгое ($<0$), точки будут выколотыми (не входят в решение). Корни разбивают ось на интервалы: $(-\infty; -3)$, $(-3; 1)$, $(1; 2)$, $(2; +\infty)$.
Определим знак выражения в каждом интервале. Начнем с крайнего правого интервала, взяв пробную точку, например, $x=10$:
$(10-1)(10+3)^2(10-2) = 9 \cdot 13^2 \cdot 8$, что больше нуля. Значит, в интервале $(2; +\infty)$ знак «+».
Далее, двигаясь справа налево, будем менять знак при переходе через корень нечетной кратности и сохранять знак при переходе через корень четной кратности.
- Переходим через $x=2$ (нечетная кратность): знак меняется с «+» на «-». Интервал $(1; 2)$ имеет знак «-».
- Переходим через $x=1$ (нечетная кратность): знак меняется с «-» на «+». Интервал $(-3; 1)$ имеет знак «+».
- Переходим через $x=-3$ (четная кратность): знак не меняется. Интервал $(-\infty; -3)$ имеет знак «+».
Нам нужны значения $x$, для которых выражение отрицательно ($<0$). Это соответствует интервалу со знаком «-».
Следовательно, решением является интервал $(1; 2)$.

Ответ: $x \in (1; 2)$.

2) $|x-4|(x+1)(x-3) > 0$

Рассмотрим множители в левой части.
Выражение $|x-4|$ по определению модуля всегда неотрицательно ($|x-4| \ge 0$).
Поскольку неравенство строгое ($>0$), левая часть не может быть равна нулю. Это означает, что $x \neq 4$, $x \neq -1$ и $x \neq 3$.
При условии $x \neq 4$, множитель $|x-4|$ всегда строго положителен. Поэтому мы можем разделить обе части неравенства на $|x-4|$, не меняя знака неравенства.
Получаем эквивалентное неравенство с учетом ОДЗ:
$(x+1)(x-3) > 0$ и $x \neq 4$.
Решим неравенство $(x+1)(x-3) > 0$ методом интервалов. Корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 3$.
График функции $y=(x+1)(x-3)$ — это парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.
Решением неравенства $(x+1)(x-3) > 0$ является объединение интервалов $(-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$.
Теперь необходимо учесть условие $x \neq 4$. Число 4 попадает в интервал $(3; +\infty)$, поэтому его нужно исключить из решения, разбив этот интервал на два.
Итоговое решение: $(-\infty; -1) \cup (3; 4) \cup (4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (3; 4) \cup (4; \infty)$.

3) $(2x+1)^2(x-1)(x-2) \ge 0$

Множитель $(2x+1)^2$ всегда неотрицателен, т.е. $(2x+1)^2 \ge 0$ для любого $x$.
Рассмотрим два случая:
1. Выражение равно нулю. Это происходит, когда один из множителей равен нулю.
$(2x+1)^2=0 \Rightarrow x=-1/2$.
$x-1=0 \Rightarrow x=1$.
$x-2=0 \Rightarrow x=2$.
Все эти значения ($x=-1/2, x=1, x=2$) являются решениями, так как неравенство нестрогое ($\ge 0$).
2. Выражение строго больше нуля: $(2x+1)^2(x-1)(x-2) > 0$.
Поскольку $(2x+1)^2 > 0$ при $x \neq -1/2$, мы можем разделить неравенство на этот множитель:
$(x-1)(x-2) > 0$.
Корни этого выражения $x=1$ и $x=2$. Это парабола с ветвями вверх, поэтому она положительна при $x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$.
Теперь объединим все найденные решения.
Из первого случая мы получили точки $\{-1/2, 1, 2\}$.
Из второго случая мы получили интервалы $(-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$.
Объединяем: $(-\infty; 1) \cup (2; +\infty) \cup \{-1/2, 1, 2\}$.
Точка $-1/2$ входит в интервал $(-\infty; 1)$.
Точка $1$ замыкает интервал $(-\infty; 1)$, превращая его в $(-\infty; 1]$.
Точка $2$ замыкает интервал $(2; +\infty)$, превращая его в $[2; +\infty)$.
Таким образом, итоговое решение: $(-\infty; 1] \cup [2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1] \cup [2; \infty)$.

4) $(x-5)(x+4)(x^2+6x+9) \ge 0$

Заметим, что выражение $x^2+6x+9$ является полным квадратом: $x^2+6x+9 = (x+3)^2$.
Перепишем неравенство в виде:
$(x-5)(x+4)(x+3)^2 \ge 0$.
Решим его методом интервалов. Найдем корни левой части:
$x-5 = 0 \Rightarrow x_1 = 5$ (кратность 1, нечетная).
$x+4 = 0 \Rightarrow x_2 = -4$ (кратность 1, нечетная).
$(x+3)^2 = 0 \Rightarrow x_3 = -3$ (кратность 2, четная).
Неравенство нестрогое ($\ge 0$), поэтому все корни являются решениями и на числовой оси отмечаются закрашенными точками.
Нанесем точки $-4, -3, 5$ на числовую ось.
Определим знаки в интервалах. Для $x=10$: $(10-5)(10+4)(10+3)^2 > 0$. Знак «+» в крайнем правом интервале.
Двигаясь справа налево:
- При переходе через $x=5$ (нечетная кратность) знак меняется на «-».
- При переходе через $x=-3$ (четная кратность) знак не меняется, остается «-».
- При переходе через $x=-4$ (нечетная кратность) знак меняется на «+».
Получаем знаки: $(-\infty; -4): +$; $(-4; -3): -$; $(-3; 5): -$; $(5; +\infty): +$.
Нам нужны промежутки, где выражение больше или равно нулю.
Это интервалы со знаком «+», а также точки, где выражение равно нулю.
Интервалы со знаком «+»: $(-\infty; -4)$ и $(5; +\infty)$.
Точки, где выражение равно нулю: $x=-4, x=-3, x=5$.
Объединяем решения:
Включаем $x=-4$ в первый интервал: $(-\infty; -4]$.
Включаем $x=5$ во второй интервал: $[5; +\infty)$.
Точка $x=-3$ является решением, но не попадает в эти интервалы, поэтому добавляем ее как изолированную точку.
Итоговое решение: $(-\infty; -4] \cup \{-3\} \cup [5; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4] \cup \{-3\} \cup [5; \infty)$.